圆锥曲线中的三种斜率结构及相关试题分析

唐正泉

摘 要：斜率是高中解析几何模块的重要概念，也是高考解析几何问题的重要考点.本文对圆锥曲线中斜率之和、斜率之积的结构进行研究，总结了若干结论，并对相关试题进行了分析.

关键词：圆锥曲线;斜率;试题分析

斜率是高中解析几何模块的重要概念，也是高考解析几何问题的重要考点.本文总结了圆锥曲线问题中的三种经典的斜率结构的性质，并展示了基于这三种结构的若干试题.限于篇幅，本文主要围绕椭圆进行探讨，读者不难将问题推广到双曲线、抛物线的背景中.

1 三種斜率结构

1.1 关于坐标轴方向对称：斜率之和为零

结论1 给定椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和两定点K（x0，0），P（a2 x0，0），其中0

结论2 给定椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和椭圆上的定点P（x0，y0）.在椭圆上取两点A，B满足直线PA与PB关于x=x0对称，则直线AB的斜率为定值，且该定值为椭圆在点P处的切线斜率的相反数.

这两个结论的关键都是关于坐标轴方向对称，用解析几何的语言刻画就是kPA+kPB=0.

结论1在2018年的全国Ⅰ卷中出现：

题1 （2018年全国Ⅰ卷理科第19题）设椭圆C∶x2 2+y2=1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

结论2是2011年全国高中数学联赛解析几何问题的命制背景.

1.2 垂直结构：斜率之积为-1

结论3 给定椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和椭圆上的定点P（x0，y0）.在椭圆上取两点A，B满足PA⊥PB，则直线AB过定点（（a2-b2）x0 a2+b2，-（a2-b2）y0 a2+b2）.

该结论的关键是PA⊥PB，用解析几何的语言刻画就是kPAkPB=-1.

该结论在2017年的高中联赛福建省预赛中出现：

题2 （2017年全国高中数学联赛福建省赛区预赛）已知椭圆C∶x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）过点P（-2，1），且离心率为2 2.过点P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B两点（点A，B与点P不重合）.求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标.

1.3 “第三定义”：斜率之积为-b2 a2

结论4 给定定点A（-a，0），B（a，0）.设动点P满足kPAkPB=-b2 a2，则动点P的轨迹方程是x2 a2+y2 b2=1（y≠0）.

结论5 给定椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和椭圆上关于坐标原点对称的两定点A，B.在椭圆上取点P使得直线PA，PB斜率存在，则直线PA，PB斜率之积为定值-b2 a2.

结论4来自一个教材的习题，将这一结果称为椭圆的“第三定义”，是因为用它可以以不同于第一定义、第二定义的方式定义椭圆.结论5是结论4逆命题的一个推广，对点P和点A运用“点差法”可以简捷地证明.

2019年的全国Ⅱ卷运用“第三定义”的方式给出椭圆：

题3 （2019年全国Ⅱ卷理科第21题第（1）问）已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为-1 2，记点M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线.

2 基于三种斜率结构的试题分析

以上探讨的三种斜率问题在处理上有很强的共性，即围绕kPAkPB和kPA+kPB形式的结构进行一系列的对称计算.相关问题涵盖了轨迹方程、定点、定值等基本设问，也涉及了设而不解、韦达定理、点差法等常见手法，因此成为了设置考题的经典背景.为了使试题更具有创新性，命题者还可以在这些斜率结构的交汇处命题，下面给出若干例子.

2.1 结合“坐标轴方向对称”与“垂直”

题4 （2020年泉州市高二上学期期末）已知△PAB的两个顶点A，B的坐标分别是A（0，3），B（0，-3），且直线PA，PB的斜率之积是-3 2.

（1）是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？

（2）设点P的轨迹为Γ，点C，D，E是Γ上互异的三点，且满足AC，AD关于y轴对称，AC⊥AE.求证：直线DE过定点.

解析 （1）轨迹方程为y2 3+x2 2=1（x≠0），定点为F1（0，-1），F2（0，1）.

（2）由于点C，D，E在Γ上，所以AC，AD，AE斜率存在.

由条件kAD+kAC=0，kAE·kAC=-1可得kAD·kAE=1.

设lDE∶y=kx+m，D（x1，kx1+m），E（x2，kx2+m），

则kAD·kAE=1（kx1+m-3）（kx2+m-3）=x1x2.

联立直线和椭圆方程并消元，用韦达定理将上式化为m2-6 3m+15=0.

解得m=3（舍去）或m=5 3.

所以直线DE过定点（0，5 3）.

分析 本题第（2）问将斜率之和为0与斜率之积为-1两个关系巧妙结合，构造了斜率之积为1的结构，使图形更加新颖，也更有“几何味”.

笔者经过探究发现，此题的结论可以进一步一般化为：

结论6 给定椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和椭圆上的定点P（x0，y0），在椭圆上取两点A，B满足kPAkPB=t，则直线AB过定点（-（ta2+b2）x0 a2+b2，（ta2+b2）y0 a2+b2）.

证明需要繁琐的计算，这里略去.

2.2 结合“第三定义”与“垂直”

题5 （2019年全国Ⅰ卷理科第21题第（2）问）给定曲线C：x2 4+y2 2=1（y≠0），过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为点E，连结QE并延长交C于点G.证明：△PQG是直角三角形.

证明 由结论5，kPGkQG=-1 2.（证明可采用点差法，此处略）

由两点间的斜率公式可以看出，kQG=1 2kPQ.

综合以上两式得到kPGkPQ=-1，这表明PG⊥PQ，即△PQG是直角三角形.

分析 不难看出，此题正是从结论5的斜率乘积结构出发，以kQG=1 2kPQ为桥梁，构造了一个垂直结构.有了对以上几种斜率结构的探讨和对本题命题思路的分析，我们得到了上面的简捷解法.

题6 给定椭圆C：x2 3+y2=1和圆O∶x2+y2=1，设点A，B为椭圆C的上、下顶点，过点A作直线l，l与椭圆C和圆O的另一个交点分别是点P，Q，则∠PBQ的最大值是.

解析 由结论5，klkPB=-1 3;又由l⊥QB，klkQB=-1，所以kQB=3kPB.

由图形关于y軸的对称性，不妨设kl<0.设kPB=t，则kQB=3t，其中t>0.

所以tan∠PBQ=3t-t 1+3t2=2 1 t+3t≤3 3，其中，当且仅当t=3 3时等号成立.

所以tan∠PBQ的最大值是3 3，即∠PBQ的最大值是π 6.

分析 此题巧妙设计图形，综合“第三定义”与“垂直”两个结构，得到了kQB=3kPB的有趣性质.在这一性质上，该题结合三角函数、基本不等式等考点设置了一个最值问题，形式新颖，具有很高的区分度.

2.3 结合“坐标轴方向对称”与“第三定义”

当我们同时有k1+k2=0和k2k3=-b2 a2时，我们会得到k1k3=b2 a2，这恰好是双曲线的“第三定义”的结构.因此，结合“坐标轴方向对称”与“第三定义”能够使我们在图形中沟通椭圆和双曲线，得到一系列有趣的问题.限于篇幅，我们不加证明地展示一个简单的例子.

题7 给定椭圆C1：x2 4+y2=1和双曲线C2∶x2 4-y2=1，设点A，B为C1和C2的两公共点，过点A的直线l与C1和C2的另一个交点分别是点P，Q，求证：∠PBA+∠QBA=π.

本文以椭圆为例，介绍了圆锥曲线问题中三个经典的斜率结构，并展示了基于这三种结构的创新式、综合式的命题实践.将综合问题拆解为几个简单的背景，有利于解题者理解试题的内涵;而将简单的背景组合成综合问题，有利于命题者设置有区分度的试题.

（收稿日期：2020-02-27）