一道2017年全国卷Ⅱ文科数学填空题的多解与变式

◇ 江苏 耿德伦

美国著名的数学教育家G·波利亚曾经说过:“观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律.”在解决一些典型的数学问题时,我们要进行深入观察,多思维,巧拓展,往往会有意想不到的收获.本文围绕一道2017年全国卷Ⅱ中圆锥曲线问题,体会一下深入观察而形成多种解法的魅力.

1 试题探究

分析本题巧妙地把抛物线的定义、方程与几何性质、直线的方程、直线与抛物线的位置关系、点到直线的距离公式以及平面几何等知识加以整合,题中既有“数”的抽象,又有“形”的直观,考查了函数与方程思想、运算求解能力等.通过对本题的深入观察与研究,笔者发现可以从多个角度切入,采用多种方法来分析与求解.

1.1 利用点到直线的距离公式处理

故选C.

1.2 利用抛物线的定义处理

解法2由解法1可知点M的横坐标为x=3,而MN⊥l,结合抛物线的定义可得

|MN|=|MF|=3+1=4.

图1

1.3 利用焦半径公式处理

2 变式练习

2.1 改变条件降低难度

变式1过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交C于点M,l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,若|MF|=4,则M到直线NF的距离为( )．

故选C.

2.2 引入参数改变条件

故选C.

通过对引例的解决并深入观察,发现根据条件可加以拓展,从而进行深化与变式,从中发现问题、提出问题、分析问题,最终得以解决问题,真正达到“解一题拓一类,拓一类通一片”,避免“题海战术”,从而真正做到提升思维,拓展能力.