基于VMD与Bayesian-LSSVM的滚动轴承故障诊断方法

付艺华 李 亚 朱建府

（昆明理工大学信息工程与自动化学院）

随着我国高铁技术的快速发展，大型轨道维护机械设备必须建立完善的故障诊断系统，才能达到国家铁路装备更新发展的整体要求。 滚动轴承作为大型轨道维护机械设备的精密元件，对其振动信号的故障诊断研究具有重要的理论价值和现实意义。

在故障诊断应用中，人工智能的全面发展突飞猛进，其中包括神经网络、支持向量机等算法。神经网络相较于支持向量机存在收敛速度慢、计算复杂等问题，而支持向量机中，核函数的选择、正则化因子和模型参数的选择十分困难，需要人为地不断尝试，影响了故障诊断的性能。 由于贝叶斯推断方法在解决参数问题上具有一定的优势， 因此采用贝叶斯3层推断选择最小二乘支持向量机 （Least Squares Support Vector Machine，LSSVM）参数（γ，σ），可以获得最优参数模型［1］。

在此，笔者以滚动轴承作为研究对象，采用变分模态分解 （Variational Mode Decomposition，VMD）方式进行故障信号的特征提取，通过贝叶斯3层推断理论方法获得贝叶斯算法优化的最小二乘支持向量机（Bayesian-LSSVM）参数（γ，σ），从而得到最优故障类型模式识别模型［2］，最终找到最适合滚动轴承故障诊断的方法。

1 变分模态分解

2014年，Dragomiretskiy K和Zosso D首次提出了VMD［3］，VMD是一种非递归模式信号分解方法［4］。 该方法可有效寻找变分模型最优解从而实现信号的分解，同时为了实现各个变量的有效分离和信号的时域、频域剖分，可以通过获得的最优解确定每个分量的频率中心和带宽［5］。

1.1 变分模态分解原理

实际上，解决变分问题的过程就是变分模态的分解过程，能够对信号完全分解，不存在模态混叠现象。 而解决变分问题过程又包含了变分问题的构造和求解两部分［6］。

1.1.1 变分问题的构造

假设限制条件为每种模态的总和等于原始信号f， 变分问题描述为获得K个模态分量uk（t）（k=1，2，…，K），达到每个模态的估计带宽之和最小，即具有中心频率的有限带宽之和最小。 构造过程分为3个步骤［2］。

第1步，为了获得每个模态分量uk（t）的解析信号， 运用希尔伯特变换计算相关的振动信号，得到模态分量uk（t）的单边频谱：

其中，δ（t）为冲激函数，t为时间。

第2步， 每个模态分量的解析信号通过混合指数调制到预估的中心频率上，然后计算频谱调制相应的基频带：

其中，ωk表示第k个模态分量的中心频率。

第3步，对调解信号进行H1高斯平滑，估计出各个模态信号带宽，则变分约束模型为：

1.1.2 变分问题的求解

变分问题的求解主要分为两个步骤。

第1步，通过引入二次惩罚函数因子α和拉格朗日算子λ（t），确保信号重构的准确性，同时拉格朗日算子可以保持约束性，从而得到变分问题约束模型的最优解。 在存在高斯噪声的情况下，扩展后的表达式为：

同理，通过将中心频率的取值问题转换到频域，得到中心频率的更新过程为：

1.2 变分模态分解算法

VMD算法中的拉格朗日算子主要用来增强约束性，二次惩罚项主要用来提高收敛性［8］。在频域的连续更新中，通过傅里叶变换将每个模态逆变换到时域，通过连续变换重新估计中心频率并周期性地更新每个模态的功率谱中心［9］。 具体步骤如下：

b. 令k=0、k=k+1，当k＜K时执行循环，更新uk和ωk；

2 故障诊断模型与算法

2.1 最小二乘支持向量机

LSSVM扩展于支持向量机（SVM），其主要思想是将二次规划问题转化为求解线性方程的问题，并用等式约束条件代替标准SVM的不等式约束条件，降低计算的复杂度［10］。 线性可分情况下的分类超平面如图1所示。

由图1可知，LSSVM就是将两种不同类型的滚动轴承故障数据分离并远离这个超平面，以获得更好的分类效果， 从而提高准确率和效率，获得故障分类结果。 假设给定一个有n个数据的训练样本{xi，yi}（i=1，2，…，n），其中输入数据xi∈Rm（m为R空间的维数），输出数据yi∈R。则最优线性回归函数可代表函数拟合问题：

其中，w∈Rm为权向量，φ（x）为非线性函数，b为常数且b∈R。

图1 线性可分情况下的分类超平面

最小二乘向量机采用ξi平方项方法来优化指标，所以优化指标和约束条件分别为：

其中，ξi≥0为松弛因子，c>0为惩罚参数。

根据式（9）、（10）将模型进行变换，引入拉格朗日函数L：

其中，ai为拉格朗日乘子。

为使得实际风险最小，得到如下等式约束条件：

根据KKT最优条件，消去w和ξ后整理可得：

其中，a=［a1，a2，…，an］T，y=［y1，y2，…，yn］T，e为元素为1的n×1向量，I为n×n的单位阵，G=［φ（x1）T，φ（x2）T，…，φ（xn）T］T。

通过最小二乘法求解方程（13）即可得到a和b的值，则LSSVM的拟合模型为：

其中K（x，xi）为核函数。

2.2 基于贝叶斯优化参数的LSSVM

由轴承故障诊断的特点可知，决定LSSVM学习精度和泛化能力的重要参数是超参数，一般采用交叉验证方法确定传统LSSVM超参数（γ，σ），但此方法耗时久，且不适用于大样本建模。 故笔者提出采用贝叶斯优化参数算法来优化估计超参数（γ，σ），其基本思想是在最大化参数分布的后验概率时获得最优的参数值。 贝叶斯优化参数算法主要包括以下3层推断。

第1层，模型参数的推理，即w和b的推断。给定训练集D={xk，yk}Nk=1（其中N为维数空间）和模型H中的正则化参数γ，则由贝叶斯准则可以得到：

其中，证据概率分布P（D|lgμ，lgξ，H）为一个标准化的常数，P（w，b|lgμ，lgξ，H）为先验概率，P（D｜w，b，lgμ，lgξ，H）为相似度。

第2层，正规化参数的推理，即参数μ、ξ和γ的推断。 假设P（lgμ，lgξ｜H）=P（lgξ｜H）P（lgμ｜H），利用贝叶斯法则可以由训练集D推断出：

第3层，网络结构的推理，即核函数的推断。通过选择不同的核函数，可获得不同模型的后验概率，将贝叶斯法则应用到Hj可以推断出：

通过最大化P（D|Hj）即可求得最优的核函数系数。

3 故障诊断流程

基于VMD与Bayesian-LSSVM的滚动轴承故障诊断方法流程如图2所示。

图2 基于VMD与Bayesian-LSSVM的滚动轴承故障诊断方法流程

基于VMD与Bayesian-LSSVM模型对滚动轴承故障诊断的识别过程如下：

a. 处理滚动轴承振动信号数据。对滚动轴承的外圈故障信号、内圈故障信号和滚动体故障信号进行数字化处理。

b. 初始化相关参数。对变分模态分解在处理滚动轴承外圈故障信号、内圈故障信号和滚动体故障信号时的相关参数进行优化。

c. 获得模态函数。 对外圈故障信号、内圈故障信号和滚动体故障信号进行简单的特征值滤波处理，利用优化参数的变分模态分解方法对滤波处理过的故障信号进行分解，得到模态函数。

d. 故障判别。 利用贝叶斯优化的LSSVM模型进行模式识别，获得模式识别准确率。

4 实验及结果分析

为了保证实验的真实性，笔者选用美国凯斯西储大学的滚动轴承实验数据进行分析，采用变分模态分解方法对数据进行特征提取，最终获得相应的正常、外圈故障、内圈故障和滚动体故障信号特征向量。 选用采样频率为12kHz、故障直径为0.007英寸（1英寸=2.54cm）、转速为1 797r/min的滚动轴承振动信号作为数据样本集。

实验后，提取前6个IMF作为诊断模型的输入特征向量。 结果表明，变分模态分解不仅能够分析特定的频段，还能对滚动轴承故障频率进行特征提取，有效分离出故障信息，因此变分模态分解在故障诊断的特征提取方面有着实质性意义。

为了验证设计的Bayesian-LSSVM诊断算法的有效性，将变分模态分解后提取的特征向量经过重构，选取其中部分信号作为训练样本和测试样本，然后代入Bayesian-LSSVM诊断模型中，得到4种信号的故障分类结果，如图3所示。

图3 基于Bayesian-LSSVM的4种信号故障分类结果

同时， 为了验证Bayesian-LSSVM诊断算法比SVM、LSSVM和PSO-LSSVM的诊断效果更好、诊断时间更短、效率更高，选用相同的训练样本和测试样本，分别进行诊断实验，训练时间与测试时 间 比 较 如 图4、5 所 示。 可 以 看 出，Bayesian-LSSVM在滚动轴承故障诊断中训练时间和测试时间都比其他算法更快、效率更高。

图4 4种方法训练时间比较

图5 4种方法测试时间比较

4种故障模型的诊断准确率见表1。 可以看出， 相较于其他3种模型，Bayesian-LSSVM诊断模型的诊断准确率最高， 因此Bayesian-LSSVM故障诊断方法具有更好的实用性。

表1 4种故障模型的诊断准确率

5 结束语

为了提高铁路大型机械设备滚动轴承故障诊断识别的准确率，笔者提出了一种贝叶斯优化的LSSVM故障模式识别模型。 该模型先通过VMD对振动信号进行特征提取，得到模态函数，然后引用最小二乘支持向量机，并利用贝叶斯算法优化最小二乘支持向量机的参数，构造贝叶斯优化的LSSVM分类模型。 通过数据实验对模型进行了对比验证， 结果表明， 基于VMD 与Bayesian-LSSVM的方法在滚动轴承故障诊断上具有较高的准确率和可研究的价值。 下一步工作将研究VMD算法的参数优化问题，以进一步提高滚动轴承故障诊断的准确率。