高中数学解题技巧之“数”“形”结合策略

江苏省通州高级中学 朱丽强

数形结合是高中数学中一个极其重要的思想和方法，学生认识和了解数形结合不仅有利于应试，也对培养逻辑思维能力有一定的帮助。在本篇文章中，我以平时的教学经历举例，针对数形结合的含义和作用做了简单概述，并讲述了数形结合在解题中的应用，旨在帮助学生了解到数形结合思想的重要性。

一、数形结合思想概述及意义

在数学中，数和形作为两个古老的命题被人们研究至今，现在的人们对其有了新的定义——代数和几何，并在这二者之下衍生了很多分支。看似是两个截然不同的研究命题，一个讲的是数的变化之美，一个追求的是形的自然之道。然而大道归一，代数和几何间其实有着很多的共通之处，二者是能够相互转换、相互印证的，这也是数形结合思想存在的基础。一般笼统来讲，数形结合指的是数和形之间有着一一对应的关系，具体可以表现在数轴上的每一个点都对应着一个实数。在中学数学的学习中，就是将抽象的数和具体的形联系起来，化抽象为具体。

对于学生而言，数学是晦涩难懂的，最主要的原因就是其太过于抽象，无论是导数还是方程等都离日常生活太过遥远，学生想不到自然就觉得很难。但若是运用数形结合的方法来解题，将数化为直观的形表现出来，学生便可以迅速理解。比如圆的方程，写作方程可能部分人并不能得出圆的性质，但是依照方程画出图形来，便可一眼看出圆的半径、圆心等性质，这便是数形结合的妙用。巧用数形结合可以简化解题思路，迅速在缤纷复杂的数和形中找到最优解，对于要应对高考的学子来说有着极其重要的意义和作用。

二、数形结合在解题中的应用

1.由数到形

实数和数轴的对应关系是由数到形思想最基础的解答，后面学习的很多知识都是以数轴为基础。初学实数时，可能部分学生对于这个概念并不是特别清楚，怎样的数才能称之为实数呢？书中给出了实数的范围，它是由有理数和无理数组成的。但是看起来还是太过于抽象，直到我们引入了数轴这个概念，将每一个数都具体到数轴上，实数和数轴上的点一一对应，学生这才对实数有了直观的了解。在概念的讲解中，我们便应用到了数形结合的思想。而到了高中数学，对由数到形的变换有了更深层次的要求。

比如在求最值时，我便会给学生出题：“已知点A（4，1），B（0，4）和直线l：3x-y-1=0，试在l上找一点P，使|PA|-|PB|最大，求P坐标。”这道题要运用对称性求解，将数化为“三角形两边之差小于第三边”这一形的特征。首先设B的对称点C，由BC中点在l上及BC垂直于l列方程组即可得到C点坐标为（3，3）。设AC与l交于点P，易得出P（2，5）。在l上任取一点D，由三角形两边之差小于第三边列式，可得出P（2，5）即为所求。

2.由形到数

由形到数同样是数形结合思想的一种具现形式，很多时候，几何图形是很难想象的，同学们在做这类题时也感觉十分麻烦。最简单的，比如一个抛物线，开多大口，会和哪个轴相交，这都是问题，如果单单给出一个抛物线而没有数字的辅助，自然是得不到这些信息的。但是如果运用数形结合的思想，将曲线数字化、方程化，我们通过研究方程来探究曲线的性质，而不是观察图形本身，一切都会变得简单很多。由形化数，就是我们探究几何图形性质的一个工具。

以曲线为例，为了深入探究曲线的性质，我们将一个方程与其对应起来，一方面，曲线上的每一个点都是所对应方程的解，另一方面，方程所有解对应的点都在曲线上。曲线方程、轨迹方程等一系列将几何具体到数上的问题统统可以用由形到数的思想解决。比如在讲解轨迹方程时，我给学生出了一道题：“线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=1 上运动，求AB中点M的轨迹。”这道题很显然是一道轨迹方程题，我们应让学生首先根据圆的方程写出圆心、半径，连接B点和圆心P，取PB中点N，由N、M分别是两条线段中点得到几个未知点的关系，最终可知M是一个圆的轨迹方程，利用定义求得。

3.数形转换

很多复杂的问题不单单只是由数到形或是由形化数，更多的是需要学生将数和形结合起来，实现共同转换，才能得到最终答案。数形转换一般要求从题目的已知条件和要求的结论出发，从数到形，再由直观的几何图形得到具体的数字，也就是正确的解。

高中数学教学并不应只局限于教授知识，应更加侧重于学生能力的培养。数形结合作为数学中极其重要的思想和解题方法，不仅让解题变得更加方便快捷，更重要的是可以培养学生的逻辑思维能力。老师应该在平常方方面面的教学中对学生渗透数形结合的思想，为实现素质教育做出努力。