陀螺效应对不同质量转子系统的模态影响研究

聂 帅，康宇轩，肖云峰, ， 杜文海

(1.北京工业大学 环境与能源工程学院，北京 100124；2.北京石油化工学院 机械工程学院，北京102617)

旋转机械在基础设施建设和工业发展过程中发挥着极其重要的作用，诸如压缩机、透平膨胀机等旋转机械被广泛应用于能源、化工生产等过程中，其中转子-轴承系统是该类机械的核心部件。透平膨胀机是一种高速旋转机械，其转子在高速旋转时，转子系统的运转情况决定着透平膨胀机能否正常工作，并影响其使用寿命。由于转子具有旋转的特质，旋转的转子产生的陀螺力矩会影响转子的模态频率在数值上的变化。透平膨胀机在运转过程中，其转动速度不会因为某些载荷加入而发生巨大的变化，陀螺效应会使透平膨胀机的转子保持惯性继续旋转。但转子的惯性力会对临界转速产生一定的影响。因此考虑陀螺效应的影响，对于研究透平膨胀机转子-轴承系统的横向振动具有重要意义。张文[1]介绍了求解哈密顿正定陀螺系统特征值的求解方法。Loan[2]、钟万勰[3]均提出了一种计算一般哈密顿矩阵的方法,二者均是利用解析法研究陀螺效应对转子系统模态的影响，但是使用解析法很难全面考虑陀螺效应对转子系统模态的影响。研究发现使用三维有限元法可以充分考虑该影响[4]。孙虎儿等[5]建立了考虑动不平衡状态下的陀螺力矩的横向-轴向耦合振动微分方程，通过数值模拟分析发现陀螺效应使得转轴出现了轴向振动。隋永枫等[6]结合动力环向转子系统对实际模型的影响，使用状态空间法求解陀螺系统的本征值，研究了转子陀螺效应对进动角速度、振型以及临界角速度的影响。汤华涛等[7]采用多体系统传递矩阵法计算了转子-轴承系统的固有频率，研究发现陀螺效应对转子-轴承系统的横向振动影响很大，得出陀螺效应的存在改变了转子的共振区域的范围。郭雨等[8]以箔片轴承支撑的高速透平膨胀机为研究对象，通过实验和仿真的方法研究了轴承刚度对转子系统动力学特性的影响。

本文以透平膨胀机转子-轴承系统为研究对象，使用DyRoBes-Rotor模块对具有相同外径、不同内径转轴的透平膨胀机转子系统进行模态分析，获得刚度变化对不同转子前3阶临界转速的影响规律。通过对是否考虑陀螺效应的不同质量转子系统的临界转速值及其偏差值进行对比，研究陀螺效应对不同质量的转子-轴承系统的横向振动的影响规律。

1 有限元转子动力学模型

本文针对透平膨胀机建立的有限元转子动力学模型由轴段单元、轮盘单元和轴承单元构成。对轴段单元的有限元分析，采用梁理论并考虑其剪切应变和陀螺效应。根据一般梁理论，可以得到轴段单元的刚度矩阵、质量惯性矩阵、转动惯性矩阵和陀螺力矩阵[9]。

由能量法可得到梁单元的刚度矩阵K和质量矩阵M表达式，分别为：

(1)

(2)

式中：E为弹性模量；I为梁的转动惯量；A为梁单元的横截面积；ρ为线密度。

根据转子动力学知识，可得梁单元的陀螺矩阵表达式：

(3)

式中：J为梁单元的极惯性矩；Ω为梁单元的转速。其中J表达式为：

(4)

得到刚度矩阵、质量矩阵和陀螺矩阵后，利用动力学原理可得梁单元的动力学方程：

(5)

动力学方程矩阵展开式为：

(6)

2 刚度对不同质量转子的临界转速影响分析

2.1 动压气浮透平膨胀机模型

在DyRoBes-Rotor模块中绘制透平膨胀机转子系统模型图，其中图1为原始设计模型，其质量为458.8 g，长度为194.2 mm。保持原始设计模型的压气机、涡轮、拉杆及转轴外径不变，仅改变转轴内径尺寸，获得改进型转子系统模型如图2所示，其质量为522.6 g，长度为194.2 mm。两种转子系统使用相同型号的气体轴承。

图1 转子系统原始模型

图2 转子系统改进型模型

2.2 动压气体轴承刚度对转子系统的临界转速影响研究

在实际工作中，转子系统-轴承之间存在耦合作用。受转子的运动状态影响，轴承的刚度特性不断改变，同样，转子运行状态也会受到轴承刚度变化的影响而发生改变。这种耦合作用的存在使得转子-轴承系统表现出强烈的非线性特征。探究动压气体轴承刚度对转子系统临界转速影响时，在DyRoBes-Rotor模块中把轴承设置为固定值，如Kxx与Kyy等值。根据气体轴承的刚度范围，分别取直径刚度值10 N/mm、102N/mm、103N/mm、104N/mm、105N/mm，研究不同刚度对两种质量转子系统的临界转速的影响。

图3是考虑陀螺效应后，原始设计模型与改进型模型在不同刚度下的前3阶临界转速关系图，实心符号所构成的曲线和空心符号所构成的曲线分别代表原始设计型和改进型方案的前3阶临界转速变化。通过两种方案的对比可知，随着刚度的增大，前3阶临界转速变化趋势不同。在刚度小于104N/mm时，转子质量越大，前2阶临界转速值越小，而第3阶临界转速越大。当刚度大于104N/mm时，随着转子质量的增大，各阶临界转速的变化则呈现相反的趋势。同一转子随着刚度的增加，各阶临界转速均有所增加，但增加曲率不同。

图3 转子轴承刚度对不同质量转子临界转速的影响

2.3 陀螺效应对转子系统模态参数的影响

为了探究陀螺效应对转子模态的影响，本文对于不同质量的转子设置相同的轴承动态特性参数。由DyRoBes-BePerF获得该规格轴承在4 000 r/min至90 000 r/min下各转速对应的轴承动态特性参数。在DyRoBes-Rotor建模模块中把轴承支撑参数设置为随转速而改变的类型，保证该转速下的轴承参数与BePerF求解出的轴承特性参数一致。且计算时采用各转速下Kxx与Kyy的平均值作为该转速下的支撑参数参与计算。前3阶未考虑及考虑陀螺效应的模态振型如图4、图5所示，据此进行分析，发现考虑陀螺效应和未考虑陀螺效应所得临界振型相同，但在临界转速数值上有所差异。并且发现相比于未考虑陀螺效应时，考虑陀螺效应的各阶临界转速在数值上均有所增加。

(a)1阶模态振型

(b)2阶模态振型

(c)3阶模态振型

(a)1阶模态振型

(b)2阶模态振型

(c)3阶模态振型

为进一步探究陀螺效应对不同质量转子的影响，在原始设计模型的基础上进一步对转子内径进行更改，使转子质量继续增加，并建立了3组不同质量的转子系统。原始设计模型总质量为463 g，改进型1总质量为496 g，改进型2的总质量为526 g。在DyRoBes 里对这3组不同质量的转子系统进行相同刚度下的模态分析计算。表1是分别考虑陀螺效应和未考虑陀螺效应影响的情况下，进行的模态分析计算获得的前3阶临界转速值及其偏差值。通过分析，发现陀螺效应对前2阶临界转速影响较小，这点与上图3所表示的考虑陀螺效应在不同刚度下时前2阶临界转速的变化情况相符合。通过对比各阶临界转速偏差值，发现陀螺效应对前2阶临界转速影响较小，对第3阶临界转速影响较大。通过对比不同方案下临界转速值，发现在该刚度下，无论是否考虑陀螺效应，随着转子系统质量增大，前2阶临界转速均随之增大而减小。不考虑陀螺效应时，第3阶临界转速随着转子系统质量的增大而增大。考虑陀螺效应时，第3阶临界转速随着转子系统质量的增大先增大后减小。

表1 不同方案转子系统临界临界转速

3 结 论

本文应用DyRoBes软件采用仿真模拟的方法，开展了刚度和陀螺效应对不同质量转子系统临界转速的影响规律的研究，得出如下结论：

1)刚度的变化对各阶临界转速的影响不同，刚度的增加会使转子系统的各阶临界转速均有所增加，转子的质量和轴承的刚度均对临界转速产生影响；

2)同一转子在相同刚度下考虑陀螺效应时所获得的临界转速比未考虑陀螺效应时大，陀螺效应对各阶临界转速的影响有所不同；

3)通过对比不同方案下临界转速值，发现在该刚度下，无论是否考虑陀螺效应，随着转子系统质量增大，前2阶临界转速均随之增大而减小。不考虑陀螺效应时，第3阶临界转速随着转子系统质量的增大而增大。考虑陀螺效应时，第3阶临界转速随着转子系统质量的增大先增大后减小。