高中数学数形结合教学实践探索

张志刚

【摘 要】在高中数学的教学活动当中，涉及到数形结合的思想方法有很多，而直线与圆的位置关系是一个很好的案例。本文对高中数学数形结合教学案例进行了全面分析，并且对教学活动进行了总结及反思。希望通过本文可以为相关工作提供一些参考。

【关键词】高中数学;数形结合;教学实践;直线与圆位置关系

1高中数学数形结合教学案例分析

就当前的高中教材而言，很多内容都涉及到了数形结合这一重要的数学方法，直线和圆的位置关系这一内容是一个很好的案例。在教学活动实际进行中，笔者通过这样的方式对该节内容进行有效引入：大家都在初中学习过直线与圆的相切、相交以及相离三种位置关系。当时是通过公共点个数以及直线到圆的距离两个角度对该问题进行学习。将直线和圆的位置关系化为基于r大小以及交点个数的问题。这节课程将从解析几何的角度对直线和圆的位置关系进行深入研究。看看高中阶段会给这种问题搭建怎样的沟通桥梁。

在课程实际进行中，首先让学生对位置关系进行有效判断，并且引导其从熟悉的几何角度入手，利用简单直观的图形队圆和直线位置之间的距离进行有效判断。接下来利用刚刚学习的方程思想对问题进行全面分析，把方程解的个数作为解决问题的切入点，这一方式负责符合学生的思维发展过程。学生在学习的过程当中很容易对该节课程内容进行联想，并且利用形解决的问题转化为利用数进行解决，从而达到第1个思维跳跃。教师引导学生对切线方程进行求解，对弦长进行求解。这样可以将塑形图形与数量关系密切结合起来，让学生思维产生二次链接。利用同一思维模式解决不同问题情景，从而让学生对数形结合思想产生更加深入的思考。最后在课堂当中为学生引入一些实际问题，引导学生利用这种思想对这些实际问题进行有效的求解活动，将文字性的问题通过学生的思维加工，最终达到应用数形结合的方式解决问题，让学生思维产生第三次链接。具体的教学过程如下所示：

首先，教师为了将学生引入本次课程，应当为学生利用多媒体播放了直线与圆之间的位置关系。

教师：第1种方法通过数形结合的有效应用，将直线与圆位置关系问题转化为数量关系。通过d和r之间的大小判断直线和圆之间的位置关系，从几何的角度对问题进行有效分析。最终从数量关系去对问题进行有效解决，然后把求解的数量关系翻译为几何问题。这种思想方法叫做几何法解题。通过对课本前几章内容的学习，同学们认为如何才能更加有效的求解其中的d和r呢？

学生则结合已有知识对该该问题进行解答。

教师：很好，该名同学的思路非常清晰，接下来看另一种解题思路。利用圆与直线交点的个数对其位置关系进行准确判断，有心的同学可能已经猜到老师接下来要问什么问题了。

学生：发表意见讨论高中方法如何对圆与直线之间的位置关系进行判断，并且说出这种方法叫什么如何去转化。

教师：回答教师，将两个方程联立变成一个一元二次方程对位置关系进行有效判断。因为一元二次方程有几个问题解的问题可以进一步转化为根的判别式问题，因此位置关系问题和根的判别式就产生了直接联系。

教师与同学们在课堂上非常活跃，能勇敢发表自己的看法。下面对本节内容进行一个小节并且为学生出示小结提纲。

例1：已知直线1：3x+y-6=0和圆心为c的圆对直线与圆的位置关系进行判断。如果相交得出它们的交点坐标

变式训练1：已知圆的方程是，直线y=x+b。

求解：

当b为何值时，圆与直线相切

当b为何值时，圆与直线相离

引导学生对其进行思考、求解以及展示。教师则根据学生的活动进行有效点评：这几个同学在求解的过程当中非常认真，而且最终解答的叙述完整，思路清晰，相信这些同学的良好习惯将会在今后高考时取得一个好成绩。

2巩固新知，形成技能

教师这种求解思路在对数学问题进行求解时有着很好的效果，接下来我们利用这种求解思路来研究圆的切线方程以及相交弦长问题，大家一起看图。

你认为对于这类问题应当如何进行有效求解？

学生则发表自己对这类问题如何求解发表自己的看法。

教师则称赞学生：分析的非常到位，请同学们根据这种思路在活页纸上对例2、例3进行求解。

在学生练习的过程当中，教师对这个课堂进行巡视，对个别学生进行辅导。

例2 直线3x+y-6=0和圆心为o的圆，相交于A、B两点，求线段AB的长度

教师：刚才大家对这一问题进行解答的过程当中，老师在下面收集到了几个同学的检查过程，假如你是阅卷老师你会给这些同学判多少分。

然后教师利用實物投影投出学生的检查过程，并且在班级内部进行评比活动。

学生对这些解答过程进行观看并且发表自己的看法。

教师：刚才同学们积极的发表了自己的看法，解答过程中有问题的同学及时改正，没有的同学继续努力。接下来大家分析变式2中的问题。

然后教师再次进行巡视学生，个别辅导

变式训练2：已知过一点M（-3，-3）的直线1被圆所截得的弦长为，求解直线1的方程。

3教学总结及反思

在本节课堂实际进行的过程当中，为了加深学生对教学内容的理解程度笔者在学生对知识的了解基础上通过螺旋上升的教学方式让学生能够在教师的指导下对问题进行愈加深入的学习。笔者认为，要想有效保障教学质量，教师应当在对课堂内容进行全面了解的基础上设计好教学环节，防止碎片化教学。要进行整单元整体教学设计以及问题串的教学设计，教师要对数学进行全面了解。要理解各个学生的学习基础，对学习教学以及技术进行充分了解。为此教师需要有丰富的数学学科知识，合理解读教材，有效保障教学质量。通过这节课程的有效学习，让学生们逐步学会了对知识的迁移以及转化，并且对数形结合有了进一步深入的了解。

参考文献：

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（作者单位：山西省运城市万荣中学）