见微知著，学生思维发展过程管窥

肖淑芬

摘 要：思维模式的形成需要久久为功，它需要在数学课程的推进中不断实现，同时每一节数学课都需要着眼于思维发展这一培养目标，找准思维发展的各个进程并精准发力。笔者以《烙饼问题》为例，展示了思维的发展过程。思维因观察而展开，从旧知到新知的跳跃中有了猜想，在归纳猜想中进入实质阶段，新知得以积累，思维得以提升。在形成结论的进一步演绎中，一般结论到特殊实例，一般结论再到另一个一般结论，思维得到拓展。

关键词：思维;观察;猜想;归纳;演绎

数学基本活动过程主要是数学的归纳推理和演绎推理过程。在数学活动中，教师要引领学生逐步形成从观察入手发现问题，从特例开始循序渐进归纳推理，对归纳推理得到的猜想进行演绎证明的思考问题的方式或思维模式。思维模式的形成需要久久为功，它需要在数学课程的推进中不断实现，同时每一节数学课都需要着眼于思维发展这一培养目标，找准思维发展的各个进程并精准发力。

四年级上册义务教育教科书（2013版）数学中《烙饼问题》一课为《数学广角》第二课时的教学内容。在该节课中，学生主要通过解决“烙饼”中的数学问题，初步体会“优化”思想在解决实际问题中的应用;通过观察、操作、记录、比较、讨论、思考等活动积累转化、归纳、演绎的经验;增强学生数学学习的兴趣，并能够让学生运用数学方法解决生活问题。

该课最核心的目标是什么？因其从属于数学广角“优化”的问题系列中，所以很多一线教师认为应该以“优化”思想的渗透为主要目标。从“新知”的角度上看，这样的目标定位是有一定道理的，但从思维培养的大目标来看，还是应该将归纳、演绎经验的积累认定为最主要的目标，而“优化”“转化”则是思维活动过程中，学生经历和感悟的重要思想方法。

一、思维展开始于观察

思维的发展是伴随着问题的解决一起推进的。学生能否发现问题、提出问题，取决于观察能力在学生智力发展中占有什么地位。发现问题、提出问题的第一步就是观察。观察是以视觉为主，融其他感觉为一体的，有目的、有计划的知觉活动。只有通过细心观察，才能发现事物的细微而重要的特征差异，捕捉问题信息，从而发现问题、提出问题。观察可分为两种形式，即间接观察和直接观察，二者的区别为观察对象是否进行转换。观察对象是否需要转换，取决于观察对象的难易程度。当所要解决的数学问题较为复杂时，小学生往往需要变直接观察为间接观察。

在《烙饼问题》的教学中，笔者展现的是这样的问题情境：“一个锅每次最多能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟。123张饼怎么烙最省时？最少需要多长时间？”“123张饼怎么烙”这样的“大问题”的提出有利于学生自主性的激发，但这样的问题较为复杂，思路、方法不够明确，笔者先引导学生自主地将问题简单化， 进行间接观察，进而比较原命题，从而沟通解题思路和方法。教师引导学生“知难而退”，退到1张饼、2张饼、3张饼的情况去思考问题。当问题简单化后，便可针对对象的实物直观、模型直观、语言直观加以观察。

笔者引导学生自我呈现模型直观然后进行观察，即为将1、2、3张饼以如下图的方式记录下来（如图1），记录过程，形成模型。模型直观能帮助学生观察到细微差别“横着看，每次烙2张饼”，“竖着看两面饼都烙了”。思维的发展始于观察，但是在思维发展的各个阶段，观察这一最高级别的知觉形式都伴随其中。从观察2张饼的优化烙饼法到双数张饼的烙饼法，从观察3张饼的优化烙饼法到单数张饼的烙饼法，从有序观察烙饼的记录表，找出饼数与烙饼时间的关系到任意张饼（1张饼除外）优化烙法，随着观察的推进，学生的思维在不断地发展之中。

二、思维跳跃触发猜想

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”课程改革以来，合情推理受到了教师前所未有的关注，数学教材中也大量地采用了数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法。小学生的知识、技能、方法及经验的储备还处于较低的水平，这时的直觉思维并未发展起來，此时的猜想应是建立在已有认知的基础上，学生经由观察，旧知与新知碰撞，思维发生跳跃，提出新的观点。

引导数学猜想作为数学教育的一种方式，提高了学生的学习数学的兴趣，鼓励、调动学生运用自己的数学能力，主动动脑、动手解决问题的过程。

《烙饼问题》一课中笔者引导学生探究2张饼最省时的烙法，学生在解决2张饼的问题中，初步体会“优化”的思想在解决问题中的应用，触及烙饼问题最优方案的核心，并产生猜想——如果烙饼时不空锅，就会最省时。基于这样的猜想，他们创造了3张饼“交替烙”的方法，他们在比较“交替烙”和“非交替烙”两种模型直观时（如图2），进一步肯定了他们对于优化方案的猜想。

三、思维提升成于归纳

小学的数学学习是以活动经验为基础，以逻辑思维为核心的认知过程。在一定意义上说，逻辑思维的实质就是推理。归纳推理是推理的一种重要形式，它是由个别的事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理过程。

在学习活动中，学生的认识从“个别”到“一般”、从“无”到“有”、从“旧”到“新”，都是在归纳中完成的。从非严格意义上说，学生对数学活动进行一次归纳，对于学习者本人来说都是一次“创新”的过程，也就是在这样的创新过程中，学生的思维得到了提升。

烙饼省时的方法是什么，有个规律，学生先是探索了2张饼的优化方法，掌握了2张饼“同时烙”的优化方法，算出所需时间，进而通过转化，探究出双数张饼所需时间，并计录下来：4（2，2）12'; 6（2，2，2）18';8（2，2，2，2，）24'……“探究了双数张饼所需时间，同学们对什么还感兴趣呢？”学生探究3张饼“交替烙”的方法，再接着以转化的方法探索出单数张饼的烙饼方法，并计录下来： 5（2，3）15';7（2，2，3）21';9（2，2，2，3）27'……最后合并表格，归纳出规律“饼数×一面所需时间=所需最短时间（1张饼除外）”。

归纳方法有简单枚举归纳法、完全归纳法和科学归纳法。运用完全归纳，学生思维的严密逻辑性将得到发展，然而完全归纳法有时非常繁复，甚至是不可能的，于是又产生了数学归纳法——逻辑论证方法。像《烙饼问题》一课，笔者引导学生从双数、单数的不同角度进行归纳，可视为逻辑论证方法。教师可进一步质疑：“为什么饼数×一面所需时间=所需最短时间？”引导学生了解对象与其属性间的必然联系，这对于学生思维的严谨性的进一步发展是非常有利的。

四、思维拓展重于演绎

演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的方法进行计算或法则的证明。前者主要体现在根据法则进行计算、根据四则运算的意义解决简单的问题。后者主要体现在几何图形的面积、体积公式推导的过程中，把归纳法和演绎推理结合起来，得出结论。学生的认识从一般到特殊，从一个法则、性质、公式、定律或规律到另一个法则、性质、公式、定律或规律，其思维得到了拓展。

《烙饼问题》中学生得出：“饼数×一面所需时间=所需最短时间（1张饼除外）”的规律后，“烙123张最少需要多少时间？”便是学生利用已有规律解决简单问题的一种演绎。教师改变情境，提出问题：“一个锅每次最多能烙3张饼，两面都要烙，每面3分钟。123张饼怎么烙最省时？最少需要多长时间？”学生利用烙饼问题“最省时”的思想本质——不空锅，利用“一个锅每次最多能烙2张饼”探究途径，用优化、转化、归纳的方法得出结论，这便是从一般规律到另一个一般规律的思维拓展。

思维因观察而展开，从旧知到新知的跳跃中有了猜想，在归纳猜想中进入实质阶段，新知得以积累，思维得以提升。在形成结论的进一步演绎中，一般结论到特殊实例，一般结论再到另一个一般结论，思维得到拓展。我们可以从一节课中管窥到这样的发展过程，可以从一系列课、一学段课，或更长阶段的教学中看到这样的发展过程，一线教师要胸怀学生思维发展目标，并把这个目标化到具体的教学任务之中去。

参考文献：

朱丽君.培养学生敏锐的数学观察能力[J].数学学习与研究，2011，（11）.