发展抽象思维 注重数学推理

章小超 刘继业

[摘 要]数学能“培养学生的抽象思维和推理能力”。发展学生的推理能力，是小学数学“课标”中的核心词之一，它是赋予数学教学一项十分重要和长期的任务，更是培养学生数学思想方法的根本所在。推理一般包括合情推理和演绎推理。教学中，数学教师应特别注意合情推理和演绎推理的培养与发展，将它“贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成是一个长期的、循序渐进的过程”，既不能忽略推理能力的培养与发展，也不应急于求成。

[关键词]  小学数学;合情推理;演绎推理;语言表述

《数学课程标准》在“课程性质”中强调：数学能“培养学生的抽象思维和推理能力”。抽象思维又叫逻辑思维，是用词进行判断、推理并得出结论的过程，是在分析事物时抽取事物最本质特性而形成的概念，并运用其概念进行推理、判断，其思维形式是概念组成判断，用判断组成推理。由此可见，抽象思维本身就涵盖推理;而推理则是思维形式，是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断。数学离不开推理。

推理能力，是发展学生的数学核心词之一。“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定律等）和确定的规则（包括运算的定律、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算……合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。”

在小学，数学教师教学时应特别注意：合情推理和演绎推理是“贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成是一个长期的、循序渐进的过程……不要过分强调推理的形式。”发展学生的抽象思维和数学推理，不同于知识与技能的教学，知识的理解与掌握具有阶段性，某一知识弄“懂”学“会”了，技能也熟练了，可以暂且临时“搁置”，接着学习其他知识，知识是一章一节学习的;而抽象思维和数学推理的发展，不具有阶段性，也不存在一章一节，是持续长久的，是长期的，因此，在教学过程中，必须将“推理贯穿于数学教学的始终”。

一、敢于猜想，发展合情推理

著名科学家牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发现。”猜想是科学发展的先导，数学同样离不开猜想。费马的猜想产生了代数数论;四色猜想[2]解决了地图着色难题;众所周知的“任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和的形式”，这就是著名的哥德巴赫猜想。猜想推动着人类文明的发展。固然，数学猜想是以一定的数学事实为依据，包含着以数学事实作为基础的想象成分;没有数学事实作依据的随心所欲胡乱“猜想”，不能称之为数学猜想。“先猜后证──这是大多数的发现之道。”也正如胡适先生的治学名言所说，对于數学的“大胆猜想”，还必须得“小心求证”。

在小学，通常是学生“通过观察、尝试、估算、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力”。这种合情推理，它就是本着基于数学中一些现象或事实为依据的，并非是臆想或胡思乱想。

例如，笔者在教学长方形中长、宽的变化与面积之间的关系时，先让学生猜猜看：“用20根1厘米长的小棒围长方形，怎样围它的面积最大？”“长6根、宽4根小棒;长、宽都是5根小棒……”“那就围围看！”学生兴致勃勃地开始活动，围图中还不时小声议论，教师选择其不同的围法展示在大屏上，让学生观察，说说有什么发现？学生经过动手围图、观察比较，尝试画图、计算面积等活动，得出：“长和宽都用5根小棒围成的长方形，面积最大。”比较不同的围法还发现：“长方形中长和宽的改变，面积也在变化。”“是怎么样变化的？”“在长方形周长相等的情况下，图形越‘胖，面积越大;图形越‘瘦，面积越小。”教师及时点拨引导：“哦，你的意思‘胖就是指长方形图形有点接近方正，而‘瘦就是长方形图形拉得很扁平、很长，是吗？”“是的。”“为什么会‘胖起来的？”“是因为长方形的长与宽很接近”，“那‘瘦的原因呢？”“就是长与宽相差很大”。从而得出：当长方形的周长相等时，长与宽相差越大，面积就越小;反之，长与宽越接近，面积就越大。纵观上述学习过程，经历猜想、验证（求证），最终推得：“当长方形的……时”，即指所有长方形都具有这一特性，此乃可谓是合情推理运用的“典范”。

二、运用定律，培养演绎推理

演绎推理不是从个别到一般的推理，但也不仅仅是从一般到个别的推理，可以从个别到个别，从一般到一般;而归纳推理则是由个别到一般的推理。演绎和归纳是互相联系、互相补充、不可分割的，归纳推理离不开演绎推理。

例如，笔者在教学“乘法交换律”时，提问学生：“怎么验证‘交换两个乘数的位置，积不变的结论？”学生立刻会想到举例验证，“那你们觉得要举例多少个比较合适呢？”有的学生说“至少几十个”，有的学生说“要无数个”……举例验证就是由个别到一般，这是归纳推理，但这里的归纳推理，则前提都是真的，这又属于演绎推理的要求范畴，是一个必然得出结论的思维推理，看似归纳推理，实为演绎推理，归纳与演绎互补，紧紧相连。

再如，笔者教学“倍数”时，让学生写出3个连续的自然数，求出这3个自然数的和，并判断是不是3的倍数。学生通过举例计算，给出了肯定回答。在此基础上，接着引导学生用字母来表示任意的连续3个自然数，中间的那个自然数可以用[a]表示，则另外两个自然数分别是[a]-1和[a]+1，3个连续自然数的和就是[a]-1+[a]+[a]+1=3[a]，因为[a]是自然数，3[a]一定是3的倍数，结论是必然的，实质上更符合演绎推理。同时，在大量实例基础上归纳得出，又用字母表示的方法进行了演绎推理，形成一条公理。

三、多种形式，应用合情推理

学生基于既定数学事实，或已有数学经验，或直觉感知，给出数学中某种结论后，一般会自我举例进行验证，发现没有反例之后，就确认结论是成立的、可靠的。固然，学生所举正反之例，一定是有限的、不完全的，此时的结论从理论说，并非一定成立、可靠，但这是由于小学生受思维发展水平和所掌握知识的局限，无法也无力进行严格的数学证明，这时，教师可以引导学生利用计算、画图、实验等多种形式，尽最大限度增加和丰富结论的可靠性。

例如，笔者在教学分数的基本性质时，学生通过观察图形发现：[34]等于[68]，还等于[912];[14]等于[28]，还等于[312];[24]等于[12];[48]等于[24]，还等于[12]……紧接着，引导学生猜测并验证：[12]会和哪些分数相等？[69]呢？学生在折纸涂色、计算结果、画图直观等多种形式验证的基础上，凭借经验、归纳类比，由此及彼，合乎情理地得出分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

四、语言表述，训练推理能力

语言是思维的载体，思维的成果需要用语言表达出来，语言是思维的工具;思维是语言的内容，是内核，语言离不开思维。语言与思维是相互依存的、共同发展的。因此，教学中应注意培养学生的数学语言表述能力，以此训练和发展其推理能力。

例如，笔者在教学三角形中三边关系时，先让学生在长短不一的8厘米、4厘米、5厘米和2厘米4根小棒中，任意选择3根去围一个三角形，看在什么情况下可以围成三角形？什么情况下不能围成三角形？学生通过动手围三角形发现：分别用8厘米、4厘米和5厘米与2厘米、5厘米和4厘米的3根小棒，都能圍成一个三角形;而分别用2厘米、8厘米和4厘米与2厘米、8厘米和5厘米的这3根小棒都不能围成三角形。“这是什么原因呢？把你所围图形的其中两条边加起来与第三条边比一比，你能发现什么？”引导学生计算其中两边的和，并比较边与边之间的关系：8+4>5，5+4>8，8+5>4;2+5>4，2+4>5，5+4>2;虽2+8>4，8+4>2，而2+4<8;同理：2+8>5，8+5>2，2+4<8。“怎样用语言表述你们计算比较的结果，会说吗？说说看。”再将学生操作、计算、比较得出的思维结果，整理后用语言加以呈现：“只有在两边的和大于第三边的情况下，才能围成三角形，否则就围不成三角形。”这是运用了合情推理，其本质上是演绎推理，它的前提蕴涵着结论的必然成立，前提和结论之间存有因果关联。最后，将学生推理得出结果的“原始”语言表述，逐步引导为用精练、准确的数学语言表述：“三角形任意两边长度的和大于第三边。”

总之，注重发展学生的推理能力，是小学数学“课标”中的核心词之一，是赋予数学教学的一项十分重要任务，也是培养学生抽象思维和数学思想方法的根本所在。因而，在教学中，教师切不可舍本求末，“只教知识”，而忽略抽象思维和推理能力的培养与发展。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

（责任编辑：李雪虹）