基于积分法和浓度矩法纵向离散系数的推导及比较

郑文言，郑晓亭，沈良朵

(浙江海洋大学港航与交通运输工程学院，浙江舟山 316022)

输移扩散是物质在液体中传播的一个显著特征，包含多种方式，如随流扩散、紊动扩散、剪切离散等。TAYLOR[1]提出水流的紊动扩散理论后，人们对扩散的认识和研究逐渐深入。相对随流扩散和紊动扩散而言，由于断面时均流速分布不均匀而产生的剪切离散在实际明渠流的扩散中占了主要部分。对于离散的研究，TAYLOR[2]提出并求解了圆管紊流的纵向离散问题；ELDER[3]采用类似Taylor 的方法得到二维明渠流情况下的离散系数；FISCHER[4]把Taylor 的方法推广到了天然河渠中得到了适合天然河流情况下的离散系数。周克钊等[5]改良了天然河流中示踪实验测量离散系数的方法，提出了较长河段纵向离散系数的加权平均计算方法。郭建青和温季[6]基于一维水团示踪试验的解析表达式提出了天然河流纵向离散系数的直线图解法。李玉梁等[7]基于浓度矩法获得了潮汐流离散系数随时间的变化过程，并对潮流离散系数的特征以及负离散问题进行了分析。龙炳清等[8]提出了天然河流纵向离散系数的最优化计算方法。李成光等[9]对弯曲河道的离散特性进行了研究，得到了弯曲河段离散系数的分布规律。张文俊等[10]基于对底部阻力局部线性化假设,得到了纵向离散系数的半解析方法。本文在上述研究的基础上，基于积分公式法和浓度矩法，推导了沿水深为对数、线性和抛物线型流速分布下的纵向离散系数并对结果进行比较分析；采用了浓度矩法进一步推导了随时间变化的对数流速分布情况下的纵向离散系数并对结果进行了详细分析，指出非恒定流情况下纵向离散系数不同于恒定流情况下的特征。

1 纵向离散系数

1.1 积分法

二维随流扩散方程为:

对上式做断面平均运算得:

(2)～(3)可得:

由(5)积分可得:

由离散系数的定义得:

1.2 浓度矩法

由质量守恒定律得一维纵向离散方程为:

式中，K 为综合扩散系数，在紊流中，为紊动扩散系数与纵向离散系数之和；在层流中分子扩散系数和纵向离散系数。一般情况下随流扩散作用远大于紊动扩散作用和剪切离散作用，因而可以令K≈D。

根据ARIS[12]的描述p 阶浓度矩形浓度矩为:

p 为大于等于0 的正整数。

对方程(8)取一阶矩与二阶矩相减可得:

对(1)式取1、2、3 阶矩得:

由于明渠边壁与表面的物质扩散通量为0，等式中的边界条件和初始条件为:

式中，c0为x=0 断面瞬时投放的物质总量，为方便求解，令εz只为关于时间t 的函数，流速u(z,t)可表示为：

式中，U 为常数，ηi(z)为与z 相关的函数，λi(t)为与t 相关的函数。通过(12)对M1进行求解，仿照冲量定理，M1可表示为:

Φ=(z,t;τ)dτ 表示为τ 时刻dτ 时间段内扩散质对M1(z,t)的影响。

把(17)带入(12)得:

由(12)、(14)、(15)、(16)、(17)可得(18)的初始条件为:

解(18)式得:

式中，

将(21)带入(17)得

式中，

同理可得:

式中，

将(23)、(25)带入(10)，且对式(16)取k=1，不考虑系数εz随时间的变化，得离散系数为:

为便于计算对该式进行简化认为流速v 仅为z 的函数v(z)，由(16)可得U=1，λ1(t)=1，η(z)=v(z)。将λ1(t)带入(24)积分可得:

将(22)与(30)带入(28)得:

2 多种流速下的离散系数计算和比较

上一小节分别采用积分法和浓度矩得到纵向离散系数的表达式。本节将应用上述结果计算3 种典型流速分布情况下的离散系数，并对2 种方法得到的结果进行比较。在计算中统一取垂向紊动扩散系数为抛物线型，同时为了简化计算取其水深平均值得ku*h/6。其中，k 为卡门常数，u*为摩阻流速。

(1)取对数型流速分布[13]，令流速形式为:

式中，z 为水深，z0为底面粗糙高度，u 为水深为z 时的流速。

a)采用积分法计算

由式(7)，可得:

b) 采用浓度矩法行计算

由式(31)，取前100 项，得:

经(33)和(34)比较浓度矩法和积分法求得的离散系数非常接近。

(2)取线性流速分布，令流速形式为:

式中，u0为水深z=0 时的流速，um为水深z=h 时的流速与u0的差值。

a) 采用积分法进行计算

由式(7)，得:

b) 采用浓度矩法进行计算

由式(31)，取前100 项，得:

经(36)和(37)比较，浓度矩法和积分法求得的离散系数非常接近。

(3)取抛物型流速分布，令流速形式为:

式中，um为0～h 上的最大流速，α 为常系数

a) 采用积分法进行计算

由式(7)，得:

b) 采用浓度矩法进行计算

由式(31)，取前100 项，得:

经(39)和(40)比较，浓度矩法和积分法求得的离散系数非常接近。

3 非恒定流的纵向离散系数特征

上述计算都是沿水深变化的流速的离散系数，因而无法对离散系数随时间的变化关系进行研究。在非恒定流情况下，由于积分法公式中时间项被忽略无法进行计算，下面将对随时间变化的对数流速形式的纵向离散系数，采用浓度矩法进行处理。取对数型流速分布，令流速形式为：

式中，N=（mπ/h）2，εz=（mπ）2/Ta，Ta=h2/εz，Ta为断面混合特征时间。

将(42)带入(28)并忽略物质投放的初始影响项exp (-N t)可得:

式中，流速周期为T=2π/ω，Tr=T/Ta

式中，z*=z/h。

取h=1，z0=0.002 m，ω=2π，则当Tr=10,1,0.001 时，离散系数D*(t)随时间的变化的过程线如图1 所示。

图1 对数型流速分布下纵向离散系数的过程线Fig.1 Process line of longitudinal dispersion coefficient under logarithmic velocity distribution

图1 给出了纵向离散系数随时间的变化关系，由图可知，非恒定流纵向离散系数有如下特点：

(1)非恒定流的离散系数与其流速一样随时间发生变化，且变化的频率大于非恒定流的流速变化的频率。离散系数的极值出现在极值流速和零流速的前后。

(2)当Tr=10 时离散系数都为正数，当Tr=1,0.001 均出现负离散系数。负离散反映了波峰时污染物收缩浓度增大的物理现象[14]。当Tr=0.001 时较Tr=1 时，负离散系数存在的时间区域增加。

4 小结

本文分别基于积分公式法和浓度矩法，推导了沿水深为对数、线性和抛物线型恒定流流速分布下的纵向离散系数以及对数非恒定流情况下的纵向离散系数，结果表明：

(1)对于恒定流流速分布情况下的离散系数，采用积分法和浓度矩法所得结果是一致的，但积分法在使用过程中更为方便；对于非恒定流，积分法忽略了浓度对时间的变化项，因而在非恒定流中只能依靠浓度矩法进行计算，所以浓度矩法的适用范围更广。

(2)对于非恒定流，纵向离散系数系数随着时间的变化而变化，其变化频率大于流速的变化频率。对比恒定流中纵向离散系数，由于负离散系数的存在，可以看出两者有较大的差异。因而在非恒定流情况下，如不考虑离散系数随时间的变化计算结果的准确性将会大大降。负离散还反映了波峰时污染物收缩浓度增大的物理现象。