扩散风险模型中Erlang(2)间隔随机观察边界分红问题

王 伟，王秀莲

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)

在精算风险理论中，保险公司的盈余常用随机过程来描述.本文考虑如下扩散风险模型，盈余过程U(t)满足

U(t)=u+μt+σW(t)，t≥0，

(1)

其中，u≥0是初始资金，μ>0为漂移项，通常代表保费率，σ为波动率，W(t)是标准布朗运动.假定文中随机过程都定义在一个完备的概率空间(Ω，F，{Ft}，P)上．

一个常见的精算量是破产概率，即盈余值首次变为负值的概率.这一问题在该领域已经被广泛研究，如文献[1-3]等著作中均有较为详细的阐述和介绍.为了更实际的研究保险模型，De Finetti[4]提出了分红问题，即盈余过程满足某些条件时其值的一部分作为红利分掉.当前，分红问题已经变成风险理论的一个热点和中心话题，其中[5]和[6]是相关的综述性文献.分红策略有很多种类，如边界分红策略、门槛分红策略和带状分红策略等.本文将研究一类随机观察时间边界分红策略，即观察时间间隔为随机变量，在观察时刻若发现保险公司盈余超过某边界b>0，则超出部分作为红利分掉，若盈余不超过b，则不进行分红.目前已有许多论文对随机观察相关问题展开研究[7-14]，其中文献 [7] 研究了复合泊松风险模型中在随机观察时间的边界分红问题，给出了计算期望折现分红函数的几种方法.最近，文献[15]里研究了模型(1)在随机观察时间间隔服从Erlang(2)分布时的最优分红问题，本文将研究该模型相应的破产问题．

设分红边界为b>0，随机观察时刻为Tk，k=1，2，…，其时间间隔Tk-Tk-1服从Erlang(2)分布，其密度函数为f(t)=γ2te-γt，t>0，其中参数γ>0.在随机观察时刻，若盈余超过b，则超过部分被作为红利分掉.红利的折现因子记为δ.令D(t)表示到t时刻的累积分红总量，且其为适应的、单调不减的左连右极过程.在该分红策略下，盈余过程Ub(t)满足方程

dUb(t)=μdt+σdW(t)-dD(t)，t≥0.

(2)

设τb=inf {t≥0:Ub(t)=0}为破产时，即保险公司的盈余过程在分红策略下首次降到零的时刻.定义函数

φ(u;b)=E[e-δτbI(τb<∞)U(0)=u]，

其中，I(·)为通常的示性函数.φ(u;b)是著名的Gerber-Shiu函数的一种特殊情况.为方便计算，令φ(u，i;b)，i=1，2表示φ(u;b)在到下次分红时刻剩余时间分布服从Erlang(i)时的值.进一步，根据初值u与b的大小关系，记

由破产时的定义知

φL(0，1;b)=φL(0，2;b)=1.

(3)

类似文献 [15]，给出如下几点假设:

1)φ′L(b，1，b)=φ′U(b，1;b)，φ′L(b，2，b)=

φ′U(b，2;b)；

2)φ″L(b，1，b)=φ″U(b，1;b)，φ″L(b，2，b)=

φ″U(b，2;b)．

1 微分方程组

定理1当0≤u

(γ+δ)φL(u，2;b)+γφL(u，1;b)=0，

(4)

(γ+δ)φL(u，1;b)+γφL(u，2;b)=0.

(5)

当u≥b时，φU(u，i;b)，i=1，2满足如下的微分方程组：

(γ+δ)φU(u，2;b)+γφU(u，1;b)=0，

(6)

(γ+δ)φU(u，1;b)+γφU(b，2;b)=0.

(7)

证明当0≤u

1) 没有进行观察，概率为1-γh+o(h)；

2) 进行了一次观察，概率为γh+o(h).

利用全期望公式得

φL(u，2;b)=(1-γh)e-δh·

φL(u+μh+σW(h)，2;b)+

γhe-δhφL(u+μh+σW(h)，1;b)+o(h)=

(1-γh-δh)φL(u，2;b)+μhφ′L(u，2;b)+

(8)

对(8)式进行整理，得

(γ+δ)hφL(u，2;b)+γhφL(u，1;b)+o(h).

(9)

(9)式两端同除以h，并令h→0可得(4)式.利用同样的方法可得(5)式．

当u≥b时，在小时间段[0，h]内考虑φU(u，2;b)，有

φU(u，2;b)=(1-γh)e-δh·

φU(u+μh+σW(h)，2;b)+

γhe-δhφU(u+μh+σW(h)，1;b)+o(h).

(10)

整理(10)式可得方程(6)式．

对φU(u，1;b)，由于在小时间段[0，h]内盈余超过了分红边界，注意到此时有观察即进行分红，故

φU(u，1;b)=(1-γh)e-δh·

φU(u+μh+σW(h)，1;b)+

γhe-δhφU(b，2;b)+o(h).

(11)

利用与之前同样的方法对(11)式进行整理即得方程(7)式．

2 方程组的显式解

本节将利用第1节定理1所得方程组并结合假设条件1)和2)给出φL(u，i;b)与φU(u，i;b)，i=1，2的显式表达．

当0≤u

即

(12)

方程(12)的根为r0>0，s0<0，r2γ>0，s2γ<0.因此φL(u，2;b)的通解表达式为

φL(u，2，b)=Aer0u+A1es0u+Ber2γu+B1es2γu.

(13)

将(13)代入(4)，得

Aer0u+A1es0u-Ber2γu-B1es2γu.

(14)

由(3)知φL(0，1，b)=φL(0，2，b)=1，故

即A1=1-A，B1=-B.因此(13)与(14)式变为

φL(u，2;b)=Aer0u+(1-A)es0u+Ber2γu-Bes2γu，

(15)

φL(u，1;b)=Aer0u+(1-A)es0u-Ber2γu+Bes2γu，

(16)

当u≥b时，方程(7)的通解为

其中，rγ>0，sγ<0是方程

(17)

对方程(6)，由文献[15]知φU(u，2;b)的通解表达式为

Cesγ(u-b)+Duesγ(u-b).

(18)

下面确定(17)式中未知系数E2与(18)式中系数C与D的关系.由(6)知

(19)

对(19)左端计算得

(20)

(21)

(22)

利用关系式

(22)式可变为

(23)

将(20)、(21)和(22)式代入(19)式，得

(24)

利用关系式(19)，将(24)与(17)比较系数得

故

(25)

将(14)、(15)、(18)与(25)式代入假设条件1)、2)可得

(26)

为给出线性方程组(26)的解，令

h0(b)=er0b-es0b，h2γ(b)=er2γb-es2γb，

(27)

(28)

下面将上述所得结果归纳为如下定理．

定理2在假设1)、2)下，φU(u，i;b)，i=1，2的表达式为

φL(u，1;b)=Aer0u+(1-A)es0u-

Ber2γu+Bes2γu，

φL(u，2;b)=Aer0u+(1-A)es0u+

Ber2γu-Bes2γu，

Cesγ(u-b)+Duesγ(u-b),

其中A，B，C，D由(28)给出．

3 结论

本文研究了一类扩散风险模型在随机观察下的边界分红问题.其中观察间隔时间服从Erlang(2)分布.文中计算出了相应的破产时的拉普拉斯变换.本文中的研究方法可以推广到带跳的风险模型，如复合泊松风险模型，这是将来可继续研究的工作．