刍议小学阶段面积模型建立和长方形、正方形面积的计算

刘广伟

【摘要】面积问题在小学阶段是一个重点也是一个难点，本文针对小学阶段学生第一次遇到面积问题时，如何对面积模型的建构进行阐述，同时借助建构的面积模型抽象出长方形和正方形的面积公式，对长方形和正方形的面积进行计算。

【关键词】小学;面积;长方形;正方形;计算公式

一、面积模型的建立

《面积》的教学内容是在人教版小学数学三年级下册第六单元，该单元的教学内容有：面积和面积单位、长方形、正方形面积的计算，面积单位间的进率。面积的概念是该单元的一个重要起始概念。对于面积的认识是一个渐进的过程，什么是面积，处于不同学习阶段的学生有不同的回答。学生在日常生活中已经获得了对面积概念的直觉经验，在教学中要引导学生把这种感性的、模糊的认识“数学化”。另外，三年级的学生已经建立了长度及长度单位的概念，但是由“长度”概念到“面积”概念，由“长度单位”到“面积单位”知识跨度大，难度高，抽象性也比较强。在教学过程中，要建立正确的面积概念，就必须引导学生认识周长和面积的区别。

这节课的学习是学生第一次接触“面积”这个概念。为了让学生直观认识面积的含义，教材安排了两个活动：例1是结合具体实例，说说“黑板表明的大小就是黑板面的面积”等，初步感知面积的含义是“物体的表面或围成的平面图形的大小”。在此基础上，学生寻找身边的例子，积累了感性的认识。例2是借助圆形、三角形、正方形比较两个图形面积的大小，体验比较面积大小策略的多样性，并让学生初步感知用正方形作为面积单位最为适合。为后面建立用1平方厘米的正方形作为一个单位，来测量面积的初步模型。（这里特别说明是测量较小的面积才用1平方厘米，面积大的也相对会有比较大的面积单位）

首先出示两组线段图比较长短，小结：比较长度长短可以用观察法、重叠法、测量法。接着出示两片形状相同，大小不同的叶子，看看它们有什么区别？让学生理解，长度是有长短之分的，叶子表面是有大小之分的。学生通过找一找、摸一摸身边物体的表面感知表面的大小就是物体表面的面积。通过说一说，物体（课桌）表面的大小，就是物体（课桌）表面的面积，深化对面积的认识。之后通过下面两个活动巩固面积的概念。

1.将课本封面竖放、再倾斜着放，比较面积大小，懂得面积的大小是与位置没有关系的。

2.比较课本封面与侧面面积大小，谁的面积大，直观体现表面大的物体，面积就大。

有了比较清晰的概念就要掌握比较面积的大小方法： 教师从一个长方体中抽出两个面（如下图）让学生比较，哪一个面的面积大？你是怎么判断的？可能学生会想到把两个图形重叠之后再比较，但是想完全使他们重叠，会破坏原来的图形，如果不破坏的情况下可以怎么比较。（教师引导：尺子是用来量长度的，不能直接测量面积）

类比以前我们需要测量物体长度时，在没有尺子的情况下，我们可以用“一扎”“一臂”“一步”等身体尺来做单位间接测量，那么我们测量面积，可以用什么呢？引导面积是指表面的大小，我们身上也有一些是有表面大小的，比如，一个指甲盖的大小，一个手掌的大小等等，打开学生的思路，看看给出两个图形能否间接借助第三样东西来比较大小呢？这个时候大部分学生都会利用身体上的东西或者是自己的身边的一些东西，间接比较大小。

可是大部分學生找到的工具都是不规则图形比较多，可以引导学生想要更好的测量出图形的大小应该选择更加方便规则的图形来做为工具测量一下，这里有正方形、圆、三角形，三种测量工具，同桌合作选择一种来测量这两个图形的大小，结果如下：

通过对比发现如果用的是（1）（2）的方法并不能很好的铺满两个长方形，而（3）的方法恰好铺满，也就是说第一个长方形面积是10个小正方形的大小，第二个长方形面积是12个小正方形的大小，所以知道是第二个图形面积比较大。所以利用小正方形来测量面积的大小是我们常用的方法。观察下面的图形比较面积大小。

到这里学生建立了用小正方形来测量和比较面积的大小的数学模型，可能会产生两个疑问：

疑问1：有些不规则的图形比如树叶（带有曲线的图形）这样的，小正方形也不能铺满时应该怎么办？这个疑问是比较深层次的思考，因为解决这样的问题需要用到极限的思想，我们到了高中也只是学会求一些简单的不规则图形的面积（带有曲线的图形），通过求导后积分来算面积。到了微积分的极限思考我们才能明白其中的道理。这里对于三年级的学生来说没有涉及到可留到六年级圆的面积那一章节来分析，或者是作为课后的实践作业完成。

疑问2：课堂上我们的小正方形都是一样大的吗？如果不一样大的怎么办呢？

学生的这个疑问会在下一节课得到完美的解答，就是面积单位的问题，人们为了解决上面的问题统一了面积单位。把边长是1厘米的正方形的面积称为1平方厘米，所以以后我们就可以统一用边长是1厘米的正方形来测量物体的面积。上面面积有10个小正方形的长方形的面积就是10平方厘米。通过画一画我们知道1平方分米的正方形就是100个1平方厘米的小正方形拼成的，可以看成是每排10个边长是1厘米的正方形，10排这样的小正方形，所以1平方分米的正方形就是边长是10厘米也就是1分米的正方形，所以我们用来测量稍微大一点的面积时也可以用1平方分米做单位，比如书桌的表面，书本的表面等等。同理也有1平方米，1平方米=100平方分米=10000平方厘米，一般比较大的面积都会用到平方米做单位，比如黑板大小、教室面积、操场的占地面积等。

二、长方形、正方形的面积计算

建立了面积的模型，学生应很想知道生活中各种图案的面积有多大。接下来研究两个最基本的图形长方形和正方形的面积大小。前面已经学过长方形有长和宽，并且长和宽是能通过尺子测量出来的。而我们对于面积的测量方法现在只有一个就是通过面积是1平方厘米的小正方形铺满来测量。在这里我们就先利用边长是1厘米的正方形来铺一铺，看看长是3厘米，宽是5厘米的长方形面积有多大。

观察上面长是5厘米宽是3厘米的长方形图中，一共有15个1平方厘米的小正方形，也就是上面的长方形的面积是15平方厘米。学生会联系到在方阵中每排5个正方形，3排的话就是一共15个正方形，列式就是5×3=15（个），看样子只要知道每排有几个小正方形，一共有多少排？我们就可以知道长方形里面到底有几个边长是1厘米的正方形，也就知道这个长方形的面积了。那么学生就要理解为什么上面的长方形中每排是5个，一共有3排？其实这个问题主要起到提醒的作用，提醒学生长方形的长是5厘米，5厘米里面有5个1厘米，所以长就可以放5个边长是1厘米的正方形。长方形的宽是3厘米，3厘米里面有3个1厘米，所以竖着可以放下3排。对应的转化公式如下：

通过转化公式可以知道原来“长方形的面积=长×宽”。

再利用小正方形拼成长方形把长、宽和面积记录在下面的表格里面，看看其他长方形是不是也有同样的计算方法，总结出长方形的面积计算公式具有普遍性。（这里特别拼一个长和宽都是3的长方形）

当长和宽相等的时候长方形就变成了正方形，因为正方形的长和宽是一样的，所以把正方形就不需要区分长和宽，我们把正方形的“长”和“宽”都称为“边长”。可以得到下面的关系

通过以上的关系我们知道：“求长方形和正方形的面积”转化为“求一共有幾个小正方形”。在面积模型的建立过程中小正方形就是面积的一个度量单位，一个图形有“几个小正方形”就有“几平方厘米、几平方分米或者几平方米”。从而我们也顺其自然地得到了长方形和正方形的面积公式就是：长方形面积=长×宽;正方形面积=边长×边长。利用得到的面积公式我们再求解长方形和正方形面积的时候就可以转变成我们生活中可以用尺子测量的量：“长”“宽”或者是“边长”来计算面积，所以面积并不能直接测量出来，而是算出来的。

参考文献：

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[4]李延江，雷俊.“方格图”在平面图形教学中的有效运用[J].小学教学参考，2014（17）.