剖析错解,提高认知能力
2020-06-13文石府
文 石 府
四边形在日常生活中的应用较为广泛,尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的用处更多。为帮助同学们深刻掌握这部分知识,本文将以同学们的高频出错解法为例进行归类剖析,以供借鉴。
一、错用三角形的知识
例1如果四边形四条边的长依次为2、5、8、x,如图1所示,则x的取值范围是_______。
【错解】2<x<8或0<x<15。
【错因分析】(1)很多同学直观地从所给图示出发,认为x比最长的线段短,比最短的线段长,即2<x<8,缺乏严格的理论基础,仅凭主观臆断而导致错误。(2)部分同学虽然知道能从“两点之间线段最短”入手,但仅考虑到2+5+8>x,即x<15,忽略了x+2+5>8,没有全面地考虑问题,导致错误。
【正解】根据“两点之间线段最短”,易得x+2+5>8,x+2+8>5,x+5+8>2,2+5+8>x;又 x>0,解得 1<x<15。故应填“1<x<15”。
例 2以线段 a=7,b=8,c=9,d=10为边作四边形,这样的四边形能作( )。
A.1个 B.2个
C.8个 D.无数多个
【错解】A。
【错因分析】部分同学受三条边确定一个三角形的影响,误以为四条边可确定一个四边形。三角形具有稳定性,而四边形却没有,以这样的四条线段为边的四边形有无数多个。同学们不妨用钉子、木条钉一个这样的四边形试一试,实际上它是可以活动的。
【正解】D。
二、以点代面,缺乏全面性
例3 已知∠ABC的边BA、BC分别与∠DEF的边ED、EF垂直,垂足分别为M、N,且∠ABC=40°,求∠DEF的度数。
【错解】如图2所示,
∵DE⊥AB,EF⊥BC,
∴∠BME=∠BNE=90°。
∵∠B+∠BME+∠DEF+∠BNE=360°,
又∵∠ABC=40°,∴∠DEF=140°。
【错因分析】此题错在只考虑图2的情况,遗漏了图3的情况,导致解答不完整。
【正解】(1)如图 2所示,可求得∠DEF=140°。
(2)如图3所示,
∵DE⊥AB,EF⊥BC,
∴∠NEM+∠EOM=90°,
∠B+∠BON=90°。
∵∠BON=∠EOM,
∴∠NEM=∠B=40°。
由(1)(2)可得∠DEF的度数为140°或40°。
三、思路不清
例 4如图 4,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作过点A的直线DE的垂线BD、CE,垂足分别为D、E。求证:△ACEBAD。
【错解】∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°,
∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠DBA=∠CAE,∠DAB=∠ACE。
在△ACE和△BAD中,
【错因分析】对于形如“∠1+∠2=∠3+∠4”这样的式子,错误地认为它们之间有“∠1=∠3,∠2=∠4”这样的结论。
【正解】∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°。
∵∠DAB+∠EAC=180°-∠BAC=90°,
∴∠DBA=∠EAC。
在△ACE和△BAD中,