基于改进Jerk模型的高超声速滑翔目标跟踪

冯 耀， 王 红， 曲智国， 李 凡， 董宇辉

(1.空军预警学院防空预警装备系， 武汉， 430019; 2.95980部队， 湖北襄阳， 441000)

构建合理的跟踪模型是机动目标跟踪的关键，对于高机动的高超声速滑翔目标(Hypersonic Gliding Target，HGT)跟踪问题更是如此。HGT采用Sanger弹道，除了纵向上的跳跃机动外，还能够实现横向摆动式机动[1-3]，且在弹道不同阶段表现为不同的机动特性，在控制律未知的情况下难以进行预测，相比于弹道导弹目标及常规飞行目标而言，HGT较强的突防能力对现有的机动目标跟踪模型提出了更高的要求[4-6]。

Jerk模型是目前公开文献中阶数最高的运动学模型[7-10]，它在Singer模型的基础上增加了一维加加速度估计，将目标机动加加速度描述为一阶时间相关过程，在对高速高机动目标的跟踪时经常采用该模型。文献[11～12]针对强机动目标，借鉴“当前”统计(Current Statistical，CS)模型的思想，建立了一种基于“当前”统计的CS Jerk模型，使得对目标加加速度的估计更加符合强机动目标的实际。但是在实际运用中发现，Jerk模型的模型参数由人为设定，一般取前人研究的经验值[13]，所以HGT机动特性发生变化时，模型参数不能随之进行自适应调整，导致其不能有效匹配HGT的机动特性，进而影响跟踪效果。针对这一问题，本文借鉴一阶AR模型[14]的思想，将其运用到Jerk模型参数的实时估计中，使得目标状态估计的同时能够对模型参数进行自适应调整。

1 Jerk模型及观测模型的构建

1.1 Jerk模型

设HGT的加加速度为j(t)，通常也被称为“急动”，根据Jerk模型的假设[15]，将j(t)建模为指数自相关零均值随机噪声过程，其时间相关函数为：

(1)

Jerk模型将j(t)建模为有色噪声过程，但是应用Kalman滤波时，要求它是一个不相关的白噪声过程，所以这里运用Wiener Kolmogoron有色噪声白化处理方法[16]将j(t)“白化”。首先对j(t)的时间相关函数R(τ)进行拉普拉斯变换：

W(s)H(s)H(-s)

(2)

式中：H(s)为白化滤波器的传递函数；W(s)为输入噪声的拉普拉斯变换，分别表示为：

(3)

j(t)白化后可以用一阶时间相关模型表示为：

(4)

(5)

式中：连续模型的系统矩阵为：

(6)

由于机动目标跟踪时一般使用离散的滤波器，所以需要对式(5)进行离散化处理，离散化后的状态方程表示为：

X(k+1)=F(k)X(k)+W(k)

(7)

设系统的采样周期为T0，则离散化后的Jerk模型的系统矩阵F为：

(8)

式中：

连续模型状态方程离散化后的过程噪声协方差为:

(9)

式中:

1.2 雷达观测模型的建立

图1 雷达直角坐标与观测参数的关系

k时刻直角坐标系下的量测值z(k)表示为：

(10)

k时刻直角坐标系下的量测噪声协方差R(k)表示为：

(11)

式中：

2 改进的Jerk模型

假设目标状态方程可以解耦为3个独立的通道，跟踪滤波器可以在每个通道上独立工作，设其中一维的量测方程为:

Y(k)=C(k)X(k)+V(k)

(12)

(13)

根据牛顿定律得[17]：

(14)

(15)

(16)

令:

ξ(k)=v(k)-2v(k-1)+2v(k-3)-v(k-4)

(17)

并将式(14)～(17)代入式(13)，得:

3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)]+ξ(k)

(18)

(19)

根据式(7)得:

m(k)=5j(k-1)+3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)=5[λj(k-2)+w(k-2)]+3[λj(k-3)+w(k-3)]-[λj(k-4)+w(k-4)]+[λj(k-5)+w(k-5)]=λm(k-1)+ε(k-1)

(20)

式中:

ε(k-1)=5w(k-2)+3w(k-3)-w(k-4)+w(k-5)

(21)

式(19)～(20)共同构成了m(k)的状态方程和量测方程:

(22)

对式(4)的一阶AR过程进行Z变换，有

(23)

根据Z变换性质可得:

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：ζ为遗忘因子(0<ζ<1)，ζ越接近1，其估计方差越小，但是r(·)收敛越慢，无法快速响应参数α的变化；ζ的取值越接近0，r(·)收敛越快，使其能够快速响应参数α的变化，但是ζ的估计方差越大。

3 基于改进Jerk模型的参数自适应滤波算法

式(7)和式(22)共同构成了新的线性离散系统，其状态方程和量测方程如下：

(28)

状态方程中，

(29)

根据式(21)求得新的线性离散系统的过程噪声方差为：

(30)

式中：

根据式(17)求得新的线性离散系统的量测噪声方差为：

(31)

基于改进Jerk模型的参数自适应滤波算法流程如下，其中k=1,2,…,N。

(32)

(33)

(34)

根据式(32)可得新息协方差或量测协方差为：

(35)

进而可求得滤波器增益为：

(36)

最后根据滤波增益得到当前步的状态估计值及状态估计方差：

(37)

(38)

4 仿真分析

参考美国洛克希德-马丁公司设计CAV-H模型设置飞行器的基本参数[19]：m=900 kg，S=0.48 m2，热流密度、动压、过载约束分别为6 000 kW/m2、45 kPa和4。假设飞行器保持固定的攻角和倾侧角飞行，攻角取最大升阻比下的攻角值α=11.6°，倾侧角φv=10°。采用指数型大气模型[20]，仿真时间t=700 s。设飞行器滑翔段初始运动状态的速度为15Ma，初始位置为E110°N78°，飞行高度为80 km，航迹倾角为0°，航迹方位角为180°。在E110°N50°处前沿部署一部平流层飞艇载雷达，架设高度20 km，最大探测距离Rmax=1 000 km，距离误差100 m、方位角和俯仰角误差均为0.1°。

雷达探测跟踪过程中，不得不考虑地球曲率的影响，雷达直视距离与雷达天线架设高度和目标高度有如下关系：

(39)

式中：ha为雷达架设高度;ht为目标高度。设雷达与目标之间的距离为d，只有在d

4.1 位置跟踪精度比较及分析

图2 HGT真实轨迹及滤波轨迹比较

由图2可知，传统的Jerk模型及本文改进的Jerk模型均能够较好地实现对HGT的稳定跟踪，为了进一步直观地比较2种模型下的HGT跟踪效果，此处以均方根误差(RMSE)来对其进行评估[21]。设目标在时刻teval的滤波值和真实值之差为：

(40)

(41)

目标状态向量为：

(42)

位置总RMSE及速度总RMSE计算公式为：

(43)

2种模型下各个坐标轴方向的位置RMSE及总的位置RMSE见图3，红色线条表示改进Jerk模型的滤波误差，蓝色线条表示传统Jerk模型的滤波误差。

图3 位置均方根误差比较

由图3可得，在3个坐标轴方向上，基于改进Jerk模型的位置滤波RMSE均低于基于传统Jerk模型的位置RMSE，模型参数的实时估计调整使得基于改进Jerk模型进行跟踪时，能够使跟踪模型与目标运动状态在很短的时间内得到较好匹配，进而使位置滤波误差能够很快降低并保持基本稳定，改进Jerk模型尤其在跟踪前期的优势更加明显。由图3(d)可知，采用改进的Jerk模型代替传统Jerk模型对HGT轨迹进行跟踪滤波时，能够降低约50%的位置均方根误差，可实现对HGT轨迹更加精确稳定的跟踪。

4.2 速度跟踪精度比较及分析

2种模型下各个坐标轴方向的速度RMSE及总的速度RMSE见图4，红色线条表示改进Jerk模型的滤波误差，蓝色线条表示传统Jerk模型的滤波误差。

图4 速度均方根误差比较

与位置跟踪精度类似，由图4可得，在3个坐标轴方向上，基于改进Jerk模型的速度滤波RMSE均低于基于传统Jerk模型的速度RMSE，除此之外，由于模型参数的自适应调整，基于改进Jerk模型跟踪时，能够一直保持比较低的的速度滤波误差。由图4(d)可知，采用改进的Jerk模型代替传统Jerk模型对HGT轨迹进行跟踪滤波时，总的速度跟踪精度能够得到大幅度提升，从而实现对HGT轨迹更加精确稳定的跟踪。

5 结语

随着越来越多高超声速滑翔飞行器的试验成功及陆续服役，研究与HGT高速高机动特性相匹配的跟踪模型显得十分迫切。本文针对实际运用中现有Jerk跟踪模型对参数预设的不合理性，将一阶AR模型的思想运用到对模型参数的实时估计中，提出了改进的Jerk模型，实现了目标状态估计的同时对模型参数进行自适应调整，使跟踪模型与目标机动特性尽可能得到匹配。最后基于HGT轨迹进行仿真，证明了改进Jerk模型相对于传统Jerk模型的优势。所提模型对其他高机动目标跟踪问题的研究也有一定的借鉴意义。