峰均比约束下机载MIMO雷达频谱共存波形设计

童日武， 张剑云， 周青松

(国防科技大学电子对抗学院， 合肥， 230037)

近年来，随着无线通信技术的快速发展特别是5G时代的到来，频谱带宽的需求量日益增加，如何实现雷达和无线通信设备之间的频谱共存问题受到了越来越多研究者的关注，而通过波形设计的方法可以有效实现频谱共存，因此雷达和无线通信系统之间的频谱共存波形设计成为了研究热点问题[1]。

目前的研究文献主要是从雷达角度出发，通过波形设计的方法实现与通信系统的频谱共存。频谱共存波形设计问题主要可分为如下2大类：第1类是在非杂波环境下的频谱共存波形设计[2-7]。其中文献[6]研究了在能量约束和相似性约束下的频谱共享波形设计问题，并通过求解半正定规划(Semi-Definite Programming，SDP)问题和使用秩-分解定理合成优化波形。文献[7]通过对多共存频带局部设计，能够精确控制每个频带的干扰能量。

第2类是考虑在杂波环境下的频谱共存波形设计，以最大化信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR)为设计指标。当前研究文献[8-9]大多只考虑了波形的能量约束和相似性约束，没有对波形的幅度加以约束，而在实际应用中为了能够充分利用发射机发射功率，往往需要发射波形具有恒模或者较低的峰均比特性，因此对波形施加低峰均比约束是十分必要和有意义的。另外上述文献都是先求解SDP问题，再通过秩-分解定理合成优化波形。然而求解SDP问题的运算复杂度较高，秩-分解虽然可以获得高度近似解，但是只适用于能量约束和相似性约束下的全局频谱波形设计，当同时施加峰均比约束或者局部频谱设计时将不再适用，因此需要寻找新的有效算法求解本文的优化问题。

针对以上问题，本文在现有文献的基础上对波形进一步施加了峰均比约束，并分别研究了全局频谱设计和局部频谱设计这2种不同的设计方法。针对非凸联合优化问题，本文提出了一种新颖的循环迭代算法，在每次迭代过程中将非凸优化问题转化为可解的凸优化问题，再使用可行点追踪连续凸近似(Feasible Point Pursuit Successive Convex Approximation，FPP-SCA)算法[10]直接求出波形的优化解。仿真结果表明了所提算法比现有算法具有更低的运算复杂度，且在施加峰均比约束条件时，无论是全局频谱设计还是局部频谱设计，都具有很好的适用性和灵活性。

1 信号模型

考虑集中式机载MIMO雷达，具有NT个发射阵元和NR个接收阵元。雷达平台匀速直线运动，速度为v，无偏航。在一个相干处理间隔内发射M组脉冲信号，脉冲重复周期为恒定值T，波长为λ，其发射波形矩阵为ST∈NT×L，L表示每个阵元发射波形的采样点个数。

当目标距离雷达很远时，俯仰角可以忽略不计。则对于方位角为θ0的目标而言，其对应第m个脉冲m=(1,2,…,M)的接收信号在接收端经过下变频和基带采样后可表示为：

(1)

式中：at(θ)∈NT×1和ar(θ)∈NR×1分别表示发射空间导向矢量和接收空间导向矢量，对于发射和接收阵元间距均为半波长的均匀线阵而言：

(2)

(3)

将Yt,m向量化，则有：

(4)

式中：

(5)

式中：IL为L×L的单位阵；s=vec(S)；⊗为克罗内克积。

(6)

式中：

(7)

式中：p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T表示归一化多普勒频率为f0的时间导向矢量。为方便起见，使用A0来表示A(f0,θ0)。

对于杂波信号，如图1所示，将杂波分为2R+1个等距离环，每个距离环分为Nc个杂波块，杂波信号可表示为所有杂波块信号的叠加[9]。

图1 杂波距离环

类似于目标信号，位于第r(r=0,±1,…,±R,r=0表示目标所在距离环；r>0表示目标后面距离环；r<0表示目标前面距离环)个距离环中的第k(k=1,2,…,Nc)个杂波块的回波信号表示为：

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(8)

式中：

(9)

为方便起见，将A(r,fc,r,k,θc,r,k)表示成Ac,r,k。

Jr∈L×L表示转移矩阵[11]，定义如下：

(10)

则杂波信号可表示为：

(11)

雷达接收机接收到的总信号为目标信号、杂波信号以及内部噪声之和，表示为：

(12)

2 问题阐述

2.1 最大化输出SINR

接收信号y通过有限长线性接收滤波器w后，输出信号表示为：

yout=wHy=

(13)

故输出SINR表示为：

SINR(w,s)=

(14)

进一步有：

(15)

(16)

(17)

式中：

Rcns(s)=Rcs(s)+INRLM

(18)

(19)

Rcnw(w)=Rcw(w)+wHwINTL

(20)

(21)

2.2 频谱兼容性约束

假设有K个与机载MIMO雷达系统共存的许可频带，第k(k=1,2,…,K)个频带范围为[fk,1,fk,2]，则频谱共存矩阵[6]表示为：

(22)

式中：ωk为第k个频带的权重；Rk为第k个频带的共存矩阵，表示为：

(23)

第n(n=1,2,…,NT)个发射阵元所发射的波形sn表示为：

sn=(IL⊗un)s=Uns

(24)

则MIMO雷达频谱兼容性约束表示为：

(25)

式中：EI表示所有频带的最大允许干扰总能量。

以上只考虑了全局频谱约束，只能保证所约束频带上总的能量低于设定门限值，但不能分别对每个频带上能量进行精确控制，在实际应用场景中，由于军事、航海等活动的原因，往往某些特定频带比其他频带的优先级更高，且需要精确控制这些频带的允许干扰能量，这样则需要对每个频带单独施加频谱能量约束。

局部频谱约束表达式如下：

(26)

局部频谱约束和全局频谱约束之间的关系如下：

(27)

式(26)进一步又可表示为：

(28)

2.3 峰均比约束和相似性约束

发射波形往往能量恒定，本文假设波形具有归一化能量，即sHs=1。

峰均比约束比恒模约束条件更为宽松，低峰均比约束既能保证充分利用发射机功率又能进一步提高SINR，其表达式如下[12]：

(29)

当ζ=NTL时，退化为能量约束。当ζ=1时则为恒模约束。

式(29)进一步可表示为：

(30)

Φi定义如下：

(m,n)∈{1,2,…,NTL}2

(31)

为了得到良好的波形特性，这里同时对波形施加相似性约束[6]：

‖s-s0‖2≤ε

(32)

式中：s0表示参考波形；ε(0≤ε≤2)表示相似度。

由上目标函数和约束条件可得全局频谱设计时优化问题如下：

局部频谱设计时优化问题如下：

3 优化算法

本节以全局频谱设计时的优化问题为例提出具体的求解算法，局部频谱设计时的优化问题可用同样方法求解。

当固定s时，忽略常数项后可得如下无约束优化问题：

(35)

其闭式解为[13]：

(36)

式中：υ(·)表示矩阵最大特征值对应的特征向量。

当固定w时，问题(33)等价于如下优化问题：

进一步可得：

针对非凸优化问题(38)，本文通过以下方法进行解决。首先利用Charnes-Cooper变换[9]，问题(38)等价于如下优化问题：

观察可发现，问题(39)中的目标函数是一个凸函数。但约束条件中的sHR0w(w)s=1，sHs=t以及sHS0s≥tδε并非凸集，下面将其进行凸近似处理。

sHR0w(w)s=1和sHs=t等价于如下不等式约束：

(40)

则问题(39)可转化为如下优化问题：

t1,t2,t3为辅助变量，u为惩罚项参数，用来平衡原目标函数和辅助惩罚项。当t1,t2,t3等于0时，问题(41)的解同样为问题(39)的解[10]。

观察可发现sHR0w(w)s≤1+t1是一个凸集，对于sHR0w(w)s≥1-t1又可作如下凸近似处理。

因为R0w(w)是一个半正定矩阵，故对于任意z(z为复向量且与s维度相同)，一定有：

(s-z)HR0w(w)(s-z)≥0

(42)

展开可得：

sHR0w(w)s+zHR0w(w)z-2Re(zHR0w(w)s)≥0

(43)

利用式(43)替换约束条件sHR0w(w)s≥1-t1可得：

2Re(zHR0w(w)s)-zHR0w(w)z≥1-t1

(44)

此时式(44)为凸集。

同理约束条件sHs≥t-t2和sHS0s≥tδε-t3可经过凸近似处理为：

(45)

则问题(41)转化成如下可解的凸的二次约束二次规划问题：

优化问题(46)可通过文献[10]中FPP-SCA算法求解，在第k次迭代中，令zk=sk-1，则需要求解如下优化问题：

本文所提算法的具体步骤如下：

输入：参考波形s0，惩罚项参数u，退出条件ξ和η。

输出：优化解sopt，wopt。

步骤1l=1，初始化波形s1=s0，更新R0s(s)和Rcns(s)，根据式求解w1，根据式求SINR1。

步骤2l=l+1

3)根据步骤1求解wl，SINRl。

步骤3重复步骤2，直到|SINRl-SINRl-1|≤η停止。

步骤4输出sopt=sl，wopt=wl。

至于运算复杂度，在每次迭代过程中使用本文算法求解s时相当于求解一个二阶锥规划(Second-Order Cone Programming，SOCP)问题，其运算复杂度上界(最差情况下)为O((NTL)3.5)，而在文献[9]中使用半正定松弛方法求解SDP问题的运算复杂度为O((NTL)6.5)，再通过秩-分解恢复波形的运算复杂度为O((NTL)3)。通过上述分析可以看出本文算法具有更低的运算复杂度。

4 仿真分析

对于参考波形，由于线性调频(Liner Frequency Modulation，LFM)信号具有良好的脉冲压缩特性和模糊度，故本文使用正交线性调频信号作为参考波形SLFM∈NT×L，其第(m,n)个元素的数学表达式如下：

SLFM(m,n)=

(48)

式中：m=1,2，…，NT；n=1,2,…,L；s0=vec(SLFM)。

4.1 能量约束下本文算法和文献[9]中算法性能比较

本部分比较了本文算法和文献[9]中算法在解决能量约束下的全局频谱设计问题时的性能。E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，相似性约束ε=0.3。为了公平比较，避免约束条件对运算复杂度的增加，在使用本文算法时同样施加能量约束，但不施加峰均比约束。文献[9]中的算法4通过求解SDP问题，再使用秩-分解定理恢复出优化波形。

表1给出了在码长L取不同值时2种算法的CPU运行时间。从表中可以看出无论L取何值，本文算法都比对比算法具有更少的运算时间，并且随着L取值的增大，2种算法运算时间的差距越来越大。当L=250时，对比算法显示“内存不足”，即“N/A”，而本文算法仍然可以运行。以上说明了本文算法比对比算法具有更低的运算复杂度。

表1 2种算法CPU运行时间比较 s

表2给出了L=100时2种算法的仿真数据，可见本文算法和对比算法结果几乎相同。图2给出了2种算法的脉冲压缩图，图中2种算法图示几乎完全重合。

表2 L=100时2种算法性能比较

图2L=100时2种算法脉冲压缩图

以上结果充分说明了本文算法在解决能量约束下的全局频谱设计时能达到和对比算法同样的效果。但更重要的是，本文算法具有更低的运算复杂度以及更强的灵活性和适用性，能够解决峰均比约束下的波形设计以及局部频谱设计问题，而对比算法只适用于能量约束下的全局频谱设计问题。

4.2 不同峰均比约束下的全局频谱波形设计

E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，相似性约束ε=0.3。设置ζ=200,1.5,1，由式(29)中定义可知，ζ=200表示能量约束，ζ=1.5表示低峰均比约束，ζ=1表示恒模约束。

图3给出了在不同峰均比约束下的SINR随迭代次数的变化曲线，从图中可以看出在未波形设计(即使用参考波形s0作为发射波形，对应图中第1次迭代)时的SINR值为6.587 6 dB，而通过波形设计后SINR都存在明显提升，当ζ=200时SINR为9.133 6 dB，当ζ=1.5时SINR为9.014 8 dB，当ζ=1时SINR为8.360 7 dB。另外可以看出在能量约束时SINR最大，随着ζ的减小SINR也相应越来越小，当恒模约束时SINR值最小。这一结果符合理论预期，因为ζ的减小意味着波形幅度的自由度越来越小，从而导致SINR的下降。但从图中同时可以看出，在低峰均比约束下，相对于能量约束而言SINR的损失程度较小，因此在波形设计时设置低峰均比约束是可以接受的。

图3 不同峰均比约束下的SINR变化曲线

图4给出了在不同峰均比约束下的波形能量谱密度(Energy Spectral Density，ESD)，图中同时给出了LFM信号的ESD作为参考。从图中可以看出优化后的波形在相应频带上形成能量凹槽(如图中阴影部分区域)，说明了所提算法能够起到频谱约束的作用，能够实现频谱共存。

图4 不同峰均比约束下的波形能量谱密度图

图5给出了不同峰均比约束下的波形幅度变化情况。从图中可以看出在能量约束时波形幅度变化最大，随着ζ的减小，波形幅度变化范围越来越小，且不会超过峰均比约束幅度上界，当ζ=1时波形幅度恒定，此时为恒模波形。从以上结果可以说明本文所提算法很好地起到峰均比约束的效果。

图5 不同峰均比约束下的波形幅度变化曲线

4.3 不同相似性约束下的全局频谱波形设计

E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，峰均比约束ζ=1.5。设置相似性约束ε=2,0.3,0.1。

图6给出了在不同相似性约束下的SINR变化情况。从图中可以看出波形优化后SINR都存在明显提升，但在ε=2时SINR值最大，为9.571 7 dB，随着ε的不断减小，SINR值不断下降，当ε=0.1时，为7.376 7 dB。这一结果同样是符合理论预期的，因为ε的减小同样意味着波形的可行集在减小，从而导致了优化波形的自由度降低。

图6 不同相似性约束下的SINR变化曲线

图7给出了在不同相似性约束下的波形ESD。从图中可以看出无论ε取值多少，优化后的波形都能在相应频带形成能量凹槽。但同时可以发现当ε=2时，波形的ESD在其他某些频带上的分布与LFM信号差异较大，而ε=0.1时则与LFM信号分布情况非常接近，这也说明了本文算法起到了相似性约束的作用。

图7 不同相似性约束下的波形能量谱密度图

图8给出了在不同相似性约束下的波形脉冲压缩情况，脉压经过加海明窗处理[14]，图中同时给出了LFM信号的脉压作为参考。从图中可以看出随着ε取值的不断减小，波形脉压的旁瓣水平在不断下降，说明了本文算法能够起到相似性约束的作用。

图8 不同相似性约束下的波形脉冲压缩图

对于局部频谱设计时的SINR变化曲线，ESD，波形幅度和脉压情况，具有和全局设计时几乎相同的结果，本文不再一一展示，主要区别或优势是局部频谱设计可以精确控制特定频带上的允许干扰能量，而全局频谱设计则只能保证所有特定频带上总的干扰能量小于设定的门限值。

4.4 全局频谱设计和局部频谱设计比较

图9 全局设计和局部设计波形能量谱密度

表3 全局设计和局部设计对应频带能量值

图9给出了全局设计和局部设计下的ESD。从图中可以看出，无论哪种设计方法第一频带的能量下降程度都更高，说明了第一频带的优先级更高。但是对于第一频带而言全局设计要比局部设计下降的能量更多，而对于第二频带而言全局设计则比局部设计下降的能量要少。

表4给出了分别通过全局设计和局部设计后两个频带上的能量值，从表中数据可以发现，具体到每个频带上而言，全局设计后第一频带能量要远小于设定值E1，说明第一频带能量下降过多，而第二频带能量则又大于设定值E2，说明第二频带能量下降太少。然而通过局部设计后，每个频带上的能量都符合各自频带设定的门限要求。以上说明了局部设计能够精确控制不同频带的能量，相比较全局设计更具有优势。

5 结语

本文研究了机载MIMO雷达在地杂波环境下的频谱共存波形设计问题，旨在于通过波形设计的方法进一步增强雷达对地面动目标的检测性能，同时能够实现雷达与通信系统之间的频谱共存。在设计阶段，本文对波形进一步施加了峰均比约束，并研究了全局频谱设计和局部频谱设计两种设计方法。针对这一复杂的多约束非凸联合优化问题，考虑到现有算法的局限性，本文提出了一种新颖的循环迭代算法。仿真分析部分首先将本文算法和现有算法进行了性能比较，证明了所提算法具有更低的运算复杂度，然后具体评估了本文算法在全局频谱设计时不同峰均比约束对SINR，ESD以及波形幅度的影响，不同相似性约束对SINR，ESD以及波形脉压特性的影响，最后定量比较了全局设计和局部设计的各自特点。仿真结果证明了所提算法的有效性。未来可能的工作是研究在目标先验信息不确定时的机载MIMO雷达稳健波形设计[15-16]。