二维直线电机的多入多出无模型自适应轮廓控制

曾子强 ,曹荣敏 ,侯忠生 ,周惠兴

(1.北京信息科技大学自动化学院,北京 100192;2.青岛大学自动化学院,山东青岛 266071;3.北京金铎科技发展有限公司,北京 100000)

1 引言

随着工业制造技术以及加工技术水平的提升,对设备运动控制精度的要求也逐步提高,直线电机由于有着高精度、低阻力、维护简单等优点受到广泛的关注[1].而二维直线电机平台则是由两台直线电机组成,被广泛运用在工业精密加工领域中.

传统的二维直线电机平台一般采用两个单轴比例–积分–微分(proportional integral derivative,PID)控制器分别独立控制直线电机的X轴和Y轴[2].但这种做法往往忽略直线电机XY轴之间的耦合作用以及直线电机内部的不确定干扰,使得系统控制精度受到一定程度的影响,不能很好地跟踪期望轨迹,进而影响到轮廓精度[3],所以,有诸多学者一直致力于此领域研究.基于前馈结构的双神经网络解耦控制来消除二维直线电机XY轴之间的强耦合作用对系统控制精度的影响[4].双轴广义预测交叉耦合控制策略,将广义预测算法应用于双轴控制,采用交叉耦合结构补偿轮廓误差,结果证明了其控制策略在保证跟踪精度的同时,有效提高动态响应速度,能明显减少轮廓误差[5].基于全局任务坐标系的自适应鲁棒控制策略可实现复杂轮廓运动控制精度[6–7].上述这些方法都是在单轴控制的基础上加入某种方法补偿二维直线电机耦合作用以及非线性干扰产生的误差来提高控制精度,然而这些补偿方法一般都依赖于二维直线电机精确的数学模型,但在实际情况下,多入多出复杂系统的精确数学模型很难得到,实际往往采取简化处理,这在一定程度上影响到系统的控制性能.虽然模糊控制、神经网络控制或者迭代学习控制并不依赖于受控系统的精确模型,但也存在着模糊规则库难以建立和更新、神经网络训练困难以及计算量大、迭代学习控制的迭代初始状态选择和收敛性等问题[8–10].

因此,本论文采用多输入多输出的无模型自适应控制方法(multiple input and multiple output model-free adaptive control,MIMO–MFAC)和交叉耦合控制(cross coupling control,CCC)相结合的复合控制方案.无模型自适应控制方法是一种数据驱动控制方法,利用受控系统的输入输出数据,建立基于系统等价的动态线性化数据模型,无需建立系统的过程模型从而实现系统的自适应控制[11–12],使用多入多出无模型自适应控制方法能很大程度上摆脱对二维直线电机系统精确模型的依赖,充分利用了二维电机的在线数据,但是在实际运用中发现,传统的二维直线电机MIMO–MFAC控制器会发生振荡现象使系统不能保持平稳运行,论文对传统MIMO–MFAC提出改进方法,并给出严格的稳定性和收敛性证明,其仿真和实物实验验证了改进的二维直线电机MIMO–MFAC算法在保证稳定和精度方面的有效性.除此之外,在改进的MIMO–MFAC算法的基础上加入交叉耦合控制器,实时补偿轮廓误差,提高轮廓精度,实验表明该复合控制方法的有效性.

2 二维直线电机建模

二维直线电机平台是由两台直线电机组合而成,其数学模型也是由永磁直线电机演变而来.根据参考文献[13],二维直线电机数学模型为

式中:M1,M2分别为直线电机X轴和Y轴动子质量;v1,v2分别为X轴和Y轴的动子线速度;B1,B2分别代表X轴和Y轴的粘滞摩擦系数;分别为X轴和Y轴的其他干扰合力;分别为X轴和Y轴的非线性摩擦阻力,根据文献[14],其具体数学模型为

式中:A1,A2分别为X轴和Y轴的推力波动幅值;w1,w2分别为各轴的以位移为变量的角速度;x1,x2分别为电机X轴和Y轴运动部分沿运动方向的位移;ϕ1,ϕ2为初始相位.

式(1)中:G21为Y轴对X轴的耦合作用力;由于直线电机在实际运动中主要受粘滞摩擦影响,所以可以简化表示为G21=B3×v2,其中:B3为Y轴通过横梁作用于X轴时的摩擦系数;同理可得,G12=B4×v1为X轴对Y轴的耦合作用力.其他非线性项可视为干扰,所以得到简化式

所以,上述二维直线电机平台数学模型可简化成如下形式:

通过最小二乘法对二维直线电机数学模型进行辨识,得到的最终模型为

图1 二维直线电机数学模型Fig.1 Mathematical model of two-dimensional linear motor

3 MIMO–MFAC控制器设计及其改进方法

无模型自适应控制(model-free adaptive control,MFAC)是由北京交通大学侯忠生教授所提出,该方法针对离散时间非线性系统使用动态线性化方法及称为伪偏导数的概念,在闭环系统的每个动态工作点处建立一个等价的动态线性化数据模型,然后基于此等价的虚拟数据模型设计控制器并进行控制系统的理论分析,进而实现非线性化系统的自适应控制[16].

MFAC包括紧格式动态线性化、偏格式动态线性化和全格式动态线性化.本论文基于多入多出的紧格式动态线性化的无模型自适应控制方法(multiple input and multiple output compact form dynamic linearization model-free adaptive control,MIMO–CFDL–MFAC),研究二维直线电机运动平台的控制问题.一般MIMO非线性离散时间系统可表示为

对上述系统提出两个假设,即

假设1fi(…),i=1,…,m,关于第(ny+2)个变量的每个分量具有连续偏导数.

假设2系统(7)满足广义Lipschitz,即对任意k1k2,k1,k20,u(k1)u(k2)满足以下条件:

其中:i=1,2;b>0是一个常数.

对于满足假设1–2的非线性系统(7),当∆u(k)=0 时,一定存在一个被称为伪雅可比矩阵(pseudo Jacobian matrix,PJM)的时变参数Φc(k)∈m×m,使得系统(7)可转化成如下CFDL数据模型[5]:

且对于任意时刻k,Φc(k)是有界的,其中

假设3系统的PJMΦc(k)是满足如下条件的对角占优矩阵,即满足

i=1,…,m,j=1,且Φc(k)中所有元素的符号对任何时刻保持不变.

3.1 MIMO–CFDL–MFAC控制器设计

考虑如下控制输入准则函数[16]:

其中:λ>0是权重因子,用于惩罚控制输入量过大的变化;y∗(k+1)为期望的输出信号,将式(9)代入准则函数(10)中,对u(k)求导,并等于零,得

其中步长因子ρ的加入使得控制算法更具一般性.

根据式(7),给出如下参数估计准则函数:

其中:µ>0是权重因子,惩罚PJM估计值过大变化.

极小化准则函数(12),可得

其中:η∈(0,2]是步长因子,

是PJMΦc(k)的估计值.PJM重置算法如下:

3.2 改进的MFAC算法

将第3.1节的MIMO–CFDL–MFAC控制方案运用到二维直线电机系统进行位置控制时并不适用,在合适的输入下,对电机速度进行控制,则能稳定收敛,但要控制电机位置时,系统输出结果会振荡发散.这是由于位置环控制时,其系统数学模型含有纯二阶积分环节,是非自衡系统,开环不稳定.针对这种情况,参考文献[16],做出如下改进.

考虑如下控制输入准则函数:

其中:λ>0是权重系数,y∗(k+1)为二维直线电机平台k+1时刻期望输出.与原控制输入准则函数相比,可以发现新的准则函数加入了对于跟踪误差变化率,即一阶差分的限制,目的在于抑制在位置环控制器时系统输出的振荡发散,从而实现对含有二阶积分的非自衡系统的位置环控制.

将式(9)代入到上式中,并对u(k)求导,同时伪雅可比矩阵的估计算法不变,进而得到二维直线电机平台的MFAC改进方案为

其中ρ1,ρ2,ρ3是权重因子,用于惩罚相关项的约束量.

3.3 误差收敛性分析

在稳定性分析中需要如下引理:

引理1令A=(aij)∈Cn×n,定义Gerschgorin

圆盘如下:

则矩阵A的所有特征根z1,z2,…,zn都满足条件zi∈

对于非线性系统,在上述假设1–3满足的条件下,改进的MFAC控制方案具有如下性质:当y∗(k+1)=y∗=const时,存在一个正数λmin>0,使得当λ>λmin时有

1)系统跟踪误差是收敛的.

2)闭环系统是BIBO稳定的,即输出序列{y(k)}和输入序列{u(k)}是有界的.

步骤1证明PJM估计值的有界性.

步骤2证明MFAC系统跟踪误差收敛性以及系统BIBO稳定性.

由于本文所提改进方法并没有改变PJM估计算法,所以PJM估计值有界性证明见参考文献[16],这里不再赘述,本文着重证明第2步.定义系统输出误差为

把CFDL–MFAC数据模型和改进的控制算法代入上式中,得

对∆y(k −1)进行等价变换得到

所以,式(20)可变换为

根据前述引理可得

其中:z是矩阵的特征根;Dj,j=1,…,m是Gerschgorin圆盘.利用三角不等式,上式可重写为

因此,下面两个不等式成立:

由假设1可知,b2>b1(2α+1)(m −1),将式(25)和式(26)相加得

因此,可以选择0<ρ11和λλmin,使得

对于任意λ>λmin,下式显然成立:

由式(27)(29)–(30)可知

由式(24)和式(31)可知

其中:s是矩阵A的谱半径,即

是矩阵A的特征值.由矩阵谱半径的结论可知,存在一个任意小的正数ε1,使得

其中v是矩阵A的相容范数.

同理,上式谱半径不等式(34)可转成如下形式:

其中ρ1,ρ2,ρ3⊂(0,1)是可调参数,则可推导出

即存在一正数d2,d3,满足

由此可知,

结合上述,在式(22)两边取范数,得

由此,可证明系统输出误差序列是有界且收敛的.

又由于y∗是给定常量,且e(k)有界,因此根据式(19)可得出系统输出序列{y(k)}的有界性.根据式(21),对式(18)进行等价变换:

所以,结合式(40)–(41)可推得

又由式(41)可推得

将上式各项相加,可以推得

所以,结合式(42)和式(44)可推得下式:

由此,可证明系统输入序列是有界的.

到此,性质(1)–(2)都证明完毕.

上述过程证明了在处理非线性系统期望跟踪信号是常值信号时,其输出调节问题的稳定性和单调收敛性.但实际针对时变期望信号的跟踪问题时,也可以按照类似方法给出严格的理论证明.

建立增广系统:

然后针对此增广系统应用改进的MFAC方案,即可得到此增广系统的输出调节问题的稳定性和单调收敛性.其中,易得z∗(k)=0,根据式(17)–(18),系统输出误差为

该增广系统的期望信号是常值,上述改进的MFAC控制器的稳定性和收敛性已得到证明,由上式可见,该增广系统的稳定性和单调收敛性等价于原非线性系统(7)时变期望信号跟踪问题的收敛性和稳定性.

4 交叉耦合控制器设计

根据文献[17]中Koren提出的变增益交叉耦合控制器,其通过实时估计轮廓误差估计,再经PID控制后,通过各轴轮廓误差系数,将得到的控制量分别拆分成各轴的轮廓误差补偿分量,使其控制更加的准确.

建立交叉耦合控制器的前提是建立曲线的轮廓误差模型.平面任意曲线的轮廓误差定义为实际位置到期望轨迹上的最短距离,但实际应用中均采用轮廓误差近似模型,用实际位置Pa与期望位置Pd的密切圆的最短位置ε∗来近似,其几何关系如图2所示.

图2中:ρ为期望位置Pd处的曲率半径,O为ρ对应的圆心,坐标为(X0,Y0),α为点的切线与X轴的夹角.ex,ey分别为实际位置与期望位置在X轴和Y轴上的误差.则实际位置Pa的坐标(Xa,Ya)可以表示为

任意轨迹轮廓误差的近似解为

上式经过泰勒展开,可得到轮廓误差的近似值:

ρ,ex,ey都随着指令轨迹的位置改变,因此cx,cy也会随着指令轨迹的位置改变.

图2 轮廓误差几何关系图Fig.2 Geometric diagram of contour error

图3 二维直线电机运动平台多入多出无模型自适应轮廓控制结构框图Fig.3 Structural block diagram of MIMO model-free adaptive contour control for two-dimensional linear motor motion platform

此外,传统轮廓误差控制采用PID控制,本文结合第3章改进的无模型自适应控制算法的内容,提出二维直线电机运动平台的多入多出无模型自适应轮廓控制,其结构框图如图3所示.

图中:ex,ey分别为X轴和Y轴的跟踪误差;Cx,Cy分别为相应的系数项,具体见式(51);Ux,Uy分别为改进的MFAC控制器的X轴和Y轴输出.CCC控制器加入的目的在于根据估计的轮廓误差值,对二维直线电机进行实时在线轮廓误差补偿,之后再分解成X轴和Y轴的两个分量,与相应的MFAC控制器输出相加,便能得到二维直线电机整体系统输入.

5 仿真研究及分析

二维直线电机数学模型已在第1章阐述.仿真时,X轴期望轨迹为0.14 sin(2π×t),Y轴期望轨迹为0.14−0.14 cos(2π×t),其中所有的单位均为国际标准单位,整体轨迹为圆,与单轴PID控制方案做比较,仿真结果如图4–5所示.

图4 X轴误差比较图Fig.4 X–axis error comparison diagram

图5 Y 轴误差比较图Fig.5 Y–axis error comparison diagram

由图4–5可知,相比于单轴PID控制,改进的MFAC控制不仅解决了稳定性问题,在误差精度方面也优于单轴PID控制(PID控制参数已调整至最佳).改进的MFAC单轴跟踪误差范围在5 mm左右,而PID控制在8 mm左右.同时,在保证单轴跟踪性能和稳定性的前提下,加入交叉耦合控制器,按照图3所示搭建仿真环境,以减少二维直线电机运动轨迹的轮廓误差,结果如图6–8所示.

图6 圆形轮廓仿真结果图Fig.6 Simulation results of circular contour

图7 圆形轮廓局部放大图Fig.7 Partial enlargement of circular contour

图8 轮廓误差比较图Fig.8 Y–axis contour error comparison diagram

由图8可知,在改进的MFAC控制器的基础上,结合CCC控制器的控制效果最好,与单独使用改进的MFAC控制器的控制效果相比,说明CCC控制器的加入使得轮廓误差得到实时的补偿,控制效果进一步提升.

与传统的PID交叉耦合控制器的控制方法相比,由于改进的MFAC控制器的单轴误差小,响应速度快等优点,使得改进的MFAC交叉耦合控制器的控制方法的调节时间和轮廓误差都比传统方法要小.各种方法的比较结果如图6–8所示,在圆形整体轮廓上,改进的MFAC交叉耦合控制器的轮廓明显更贴近期望的轨迹,与理论分析相符.

6 实验验证及分析

实物研究采用郑州微纳科技有限公司生产的二维直线电机运动平台与北京灵思创奇生产的半实物仿真平台集成连接进行实物验证,其装置如图9所示.

图9 二维直线电机运动平台Fig.9 Two-dimensional linear motor motion platform

在实物实验环节,按照图3搭建Simulnk控制框图,其中由相应的DAC模块作为二维直线电机的驱动器输入,由编码器的反馈输出作为二维直线运动平台输出,构成整体的算法文件.在编译完成后,生成可识别代码后经由专用的软件RT-sim读取和配置,下载到半实物DSP仿真器中,由DSP控制电机运行,进行实物验证.其运行结果如图10–11所示.

图10 直线电机X轴误差比较图Fig.10 X–axis error comparison diagram of linear motor

图11 直线电机Y 轴误差比较图Fig.11 Y–axis error comparison diagram of linear motor

从实物实验结果图10–11可知,针对二维直线电机这种含有耦合作用以及干扰的非线性复杂系统时,单轴PID控制器在跟踪性能上的表现不如改进的MFAC 控制器的跟踪性能.IMFAC控制器的跟踪误差大致在4 mm左右,而单轴PID控制器则在7 mm左右,这与仿真结果基本相符.

图12给出了几种不同方法的轮廓误差控制结果,与仿真结果类似,单独使用改进的MFAC的控制效果明显不如加入CCC控制器的改进的MFAC控制方案,说明CCC控制器在补偿轮廓误差方面的有效性.但在加入CCC控制器的前提下,改进的MFAC控制器比传统的单轴PID控制器更具优势,从图12可以看出改进的MFAC控制器的误差调节时间远小于传统的PID控制器,这是由于改进的MFAC控制器在针对二维直线电机的非线性干扰和耦合作用都能做出快速的响应并且保证误差精度,由此验证了本论文所提理论方案的有效性.

同时,从图12可知,传统的PID交叉耦合控制器在15 s后误差达到稳定,为了更直观地比较整体轮廓轨迹的趋势,分别取15 s以后的同一时间段的两种控制方法做对比,结果如图13–14所示.可以看出,即使误差达到稳定,改进的MFAC交叉耦合控制器的轮廓误差依旧比传统的PID交叉耦合控制器要低,整体轮廓更贴近期望轨迹,验证了本文所提理论方法的正确性,进一步证明改进的MFAC交叉耦合控制器的优越性.

图13 直线电机圆形轮廓图Fig.13 Circular outline of linear motor

图14 直线电机圆形轮廓局部放大图Fig.14 Partial enlargement of circular outline of linear motor

7 结论

传统的使用两个单轴控制器分别控制二维直线电机的XY轴会产生较大的误差,本文尝试使用MIMO–MFAC控制器从二维直线电机整体上对其控制,减小误差.在实际运用中发现原有的MIMO–MFAC控制算法在针对含有纯二阶积分的系统时会出现振荡现象,故给出改进方案并分析论证其算法的稳定性和收敛性,仿真结果和实物实验结果验证了改进的MIMO–MFAC算法的有效性.最后在改进的MIMO–MFAC控制器的基础上,加入交叉耦合控制器,形成复合控制算法,减小轮廓误差.实物实验通过与传统PID轮廓控制算法比较,验证了所提轮廓复合控制算法的有效性,以及提高跟踪精度和轮廓精度的优势.