基于谱配点法的耦合Schrödinger-KdV方程数值方法

周 浩，杜渺勇，蒋 捷，韩丹夫

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

非线性偏微分方程在流体力学、固体物理学、等离子体物理学和量子力学等各学科中发挥着重要作用[1].为了描述以离子声速运动的坐标系中一维朗缪尔和离子声波的非线性动力学，耦合Schrödinger-KdV(CSK)方程组[2]

(1)

E(x,t)=E(x+l,t),N(x,t)=N(x+l,t),x∈[a,b],l=b-a

在数值实验方面，已经提出大量的算法来解决CSK方程，如有限差分法[2-4]、分步二次B样条有限元法[5]、基于element-free Galerkin有限元的数值解法[6]、径向基函数无网格方法[7]和Petrov-Galerkin有限元方法[8].Zhang等[9]提出了基于平均矢量场的空间离散方法及离散方程的哈密顿形式，然而，它是非线性隐式且完全耦合的，求解复杂，需要消耗大量的存储，并且不能保证I1和I2守恒.之后一些学者提出的数值方法与Zhang等的方法具有相同的特征，虽然提高了方程的计算效率，但无法保证守恒量的守恒.Cai等[10]于2018年提出了基于Crank-Nicholson型离散化与离散哈密顿形式的方案，在使得方程组CSK解耦的同时，也具备着良好的保能性.

本文提出一类基于傅里叶谱配点法和隐式差分法的数值方法求得CSK方程(1)的数值解.首先介绍傅里叶谱配点法，再将CSK方程(1)运用此方法进行空间离散.运用内积空间，证明离散后得到的微分方程组能够使得I1和I2守恒.结合隐式差分法，对此常微分方程组进行求解，从而得到解耦合性的具备守能性的数值方案.与其他数值方法相比，完全解耦方程的求解更容易，所需的运算成本较低，且具有较高的精度.

1 数值方法

1.1 傅里叶谱配点法

(2)

F(1)=DMF，

(3)

其中DM为一阶谱微分矩阵：

(4)

证毕.

定义1设U,V∈C1，称(U⊙V)j=ujvj为向量U与V的哈达马积，⊙为哈达马积算子.

在空间中进行离散化后，得到CSK方程(1)的傅里叶谱配点形式：

(5)

1.2 守恒性

在证明式(5)具备守恒性之前，定义在空间CM×M上的内积和离散范数：

(6)

(7)

引理2等式(D(2)U,V)=-(D(1)U,D(1)V)成立.

证明

定理1在周期性边界条件下，式(5)保持以下守恒定律：

证明将式(5)的第一个方程进行内积运算：

(8)

(9)

(10)

实际上，除了傅里叶谱配点法进行空间离散外，任意微分矩阵满足(DM)T=-DM的方法(例如中心有限差分法)进行空间离散，都可以使得I1和I2守恒[10].

1.3 隐式差分格式

取时间间隔τ=Δt，则离散时间为tn=nτ，n=0,1,2,….对于常微分方程组(5)，从tn到tn+1的数值解格式表示为：

由此构造了一类解耦合性的、无条件稳定的数值方案.

2 数值实验

为衡量所提出的数值方案的保能性，时间域与空间域离散后，两类守恒量可以通过叠加求和来近似获得：

第n层时间上的守恒量误差定义为：

CSK方程组(1)的精确解为[11]：

表1 E(x,t)的实部值Tab.1 The real part of E(x,t)

表2 E(x,t)的虚部值Tab.2 The imag part of E(x,t)

续表2

表3 N(x,t)的值Tab.3 The solutions of N(x,t)

与其他数值方法相比，本文提出的方法与精确解更加接近，具备更高的精度.图1模拟了此问题从t=0到t=1的演变过程.图2则描述了守恒量I1和I2从t=0到t=1的误差变化，可以发现，虽然误差随着时间的增加而有所上升，但最终的误差依旧比较小.

图1 Δt=0.000 1，Δx=0.25，t=0到t=1的数值解Fig.1 The numerical solutions from t=0 to t=1，Δt=0.000 1，Δx=0.25

表4 在x∈[-30,30]，=8，α=0.4，Δt=0.000 1，t=0.1时的最大误差Tab.4 The maximal errors when x∈[-30,30]，=8， α=0.4， Δt=0.000 1 and t=0.1

3 结束语

通过将傅立叶谱配点法与隐式差分法相结合，构造了一种求解耦合Schrödinger-KdV(CSK)方程的数值格式.该方案是一种解耦方案，可以独立求解每个时间层En与Nn的数值解.利用CSK方程的两类守恒量和误差范数对该数值方案的性能进行了衡量.数值实验说明了该方法的精度和稳定性.由此得出结论，数值解与物理性质和现象相吻合.在今后的工作中，该方法可推广到其它耦合非线性偏微分方程组.