Schwarz不等式在交流电有效值中的应用

陈日繁 陈日辉

(惠州市博罗中学 广东 惠州 516100)

1 问题提出

【例1】(2014年高考全国Ⅱ卷理综第21题)如图1所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1,n2.原线圈通过一理想电流表A接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端.假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻无穷大.用交流电压表测得a,b端和c,d端的电压分别为Uab和Ucd，则( )

A．Uab∶Ucd=n1∶n2

B．增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小

C．负载电阻的阻值越小，cd间的电压Ucd越大

D．将二极管短路，电流表的读数加倍

图1 例1题图

答案：B,D.

这就引出了一个值得思考的问题：在交流电有效值的命题中，应当如何避免进入类似这样的误区呢？本文尝试通过对交流电有效值做更为一般的计算，对易错公式进行分析.

2 有效值的定义

人教版教材对交流电有效值的定义为：让交流和恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，而这个恒定电流是I、电压是U，我们就把I，U叫做这个交流电的有效值[3].有效值是根据电流的热效应来定义的，经过分析，可以写出交流电有效值定义的积分形式如下

(1)

(2)

式中i和u分别表示交流电的电流瞬时值和电压瞬时值，T表示周期.式(1)、(2)表明，交流电有效值是电流或电压对时间的方均根.需要注意的是，这里所指的交流电是一般形式的交流电，而不是特指正弦式交流电，所以下面的讨论更具有普遍性.

3 公式适用范围的一般性讨论

交流电一个周期的功率又称为平均功率或有功功率[4]，其计算方法如下

(3)

电压有效值和电流有效值的乘积称为视在功率[4]，用S表示，即

S=UI

(4)

结合式(1)、(2)可得

(5)

根据Schwarz不等式得[5]

(6)

晚上，我们到了酒店，登记好客房后，前台服务员给了我们两张早餐券。我与爸爸、妈妈是三个人，只有两张券，明天早上我吃什么呢？我有些焦急，妈妈说：“没事，到时我和你老爸一人省一点给你吃就行了。”爸爸说：“不用操这个心，我们吃好后再带你到外面买吃的。”

S≥P

(7)

下面对并联电路的电流关系做类似的分析.两个电路元件并联接入交流电源，电流的瞬时值分别为i1和i2，总电流的瞬时值为i，它们之间的关系如下

i=i1+i2

(8)

结合有效值的定义式(1)，作以下计算

T[(I1+I2)2-I2]=

(9)

I1+I2≥I

(10)

类似的推导可以知道，两个电路元件串联接入交流电源时，电压有效值满足下式

U1+U2≥U

(11)

4 一个例子

图2 例2题图

解法三:电路的总功率为P=150 W，副线圈电压有效值为U=50 V，故电流为3 A.

在考察交流电有效值的题目中，如果出现I=I1+I2,U=U1+U2和P=UI不能使用的情况，高中生由于无法理解其原因，故无法判断哪个答案才是正确的.在命题的时候，要避免出现此类型的题目，以免造成学生在认识上的混乱.