零折射率材料电磁特性的仿真实验研究

郭晓彤 刘美晴 王艺璇 魏果果 高 华

(中国地质大学(北京) 数理学院，北京 100083)

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其中k是波矢，ωD是Dirac点的频率。在Dirac点处ω=ωD，

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当Dirac点在布里渊区的中心时，kx=0，ky=0，所以在该点，光子晶体的等效折射率为0，这一发现为零折射率材料的实现提供了一种非常简单的途径。

图1 介质柱正方晶格光子晶体布里渊区中心处出现Dirac锥的能带结构图

仿真实验是物理实验的一个重要组成部分，也是现代教育信息化建设的一大亮点，其重要作用及特色就是可以模拟自然界中难以获得的危险、极端等实验条件，把传统实验室无法完成的实验安全、直观的展示出来。如前文所述，双零折射率材料在自然界中无法直接获得，而零折射率材料的电磁特性却是很容易推介到我们物理课程体系中去，为了使同学们可以直观地观察到零折射材料特性，本文将采用文献[4]中报道的Dirac锥光子晶体来代替零折射率材料进行研究。通过数值仿真模拟，展示零折射率材料三个基本的电磁特性，进而根据其独特的电磁特性仿真一个零折射率材料的典型应用，希望可以为学生理解这种新颖的超构材料提供一些直观的物理图像。

1 模拟方法

本文采用商业模拟软件FDTD Solutions对文献[4]提出的Dirac锥光子晶体零折射率材料与折射率n=1.4的普通介质材料进行模拟并对比，其中所用零折射材料为由介质柱组成的二维正方晶格光子晶体(如图2)。具体的结构参数为晶格常数a=0.5μm,介质柱半径R=0.2a=0.1μm，介质柱的折射率为n=3.54；软件中设置的背景介质均为空气，折射率n=1，入射光波长均为0.937μm，即在Dirac点频率处。计算时的边界条件设置为完美匹配层，相当于把整个材料放置在开阔的实验空间，即出射散射等光波可以无反射地传向无穷远。

图2 二维正方晶格光子晶体结构示意图

2 仿真实验

2.1 光通过零折射率材料不规则面的出射方向

入射波传播到两种介质的分界面时会发生折射现象，同样，折射现象也会发生在普通介质(如空气)与零折射率材料的分界面。那么发生在零折射率材料界面的折射现象与常规的折射现象有什么不同呢？根据折射定律

n1sinθ1=n2sinθ2

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图3 平面光波分别通过零折射材料不规则平板(a)和折射率为1.4的不规则介质平板(b)时的电场分布

当光波从非零折射材料射入另一种常规材料时，由于n1≠0，所以当光波的入射角θ1≠0°时，出射角θ2也必不等于0；而当光波从零折射材料入射时，由于n1=0，等式的右侧也必须为0，而n2≠0,所以无论光波的入射角θ1是多少，出射角θ2都将等于0，也就是说当光波从零折射率材料射出时，其出射方向必然始终垂直于出射面。我们通过在模拟软件中设置一个被切了一个角的矩形平板，通过改变平板材料来模拟观察光波分别通过非零折射率材料和零折射率材料后的出射方向。图1中黑色箭头表示光的入射方向，灰色箭头表示光的出射方向，从图3(a)可以看出光波通过零折射材料时，无论入射角多大，出射方向都始终垂直于出射面。而由图3(b)可以看出光波通过折射率为1.4的介质层时，由于界面的不规则，发生了很复杂的过程，在均匀的介质里面出现了明显的强弱分布的干涉场。但不论过程如何，与零折射率材料不同，光波在斜切角边界发生了明显的折射，出射面的出射方向与入射方向有关。

2.2 零折射率材料内部的场分布

根据经典电动力学的电磁理论，光波在介质中传播会有相位的改变和积累。如果一定频率的光波在折射率为n的均匀介质中传播，设该频率的光波在真空中的波长为λ0，则光波在传播距离d后，其相位的改变量为

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而对于零折射率材料，由于其折射率n=0，所以无论光波在介质中传播多远的距离，其相位都保持不变。我们通过仿真模拟了Dirac锥光子晶体零折射率材料的电磁场分布，让光波从空气中分别垂直入射到Dirac锥光子晶体层和普通介质层再射出，观察其内部电磁场是否均匀，相位是否发生变化。图4中的灰色箭头表示光波入射方向，可以看出当光波在非零折射材料介质中传播时，相位发生了明显的周期性的变化；而在我们设置的零折射材料中传播时，尽管在每一个介质柱内产生了明显的位相分布，但从整个光子晶体来看，相位沿传播方向始终没有改变。

图4 光波分别通过Dirac锥光子晶体零折射率材料平板(a)和折射率为1.4的常规介质平板(b)时的电场分布

2.3 光通过零折射率材料平板的透过率

光波通过一个介质平板，其透过率会随着平板厚度的改变而改变，其物理机理是光波会在平板两侧的界面处多次来回反射，平板就像一个F-P腔，其出射光的透过率是多次透射光的多光束干涉,具体公式为

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图5 不同层数的Dirac锥光子晶体的透射谱(a)与不同厚度的折射率为1.4的介质层的透射谱(b),在Dirac点波长处，即平板折射率为零时，透过率不随平板厚度的改变而改变。

其中δ为光波在介质平板中往返一次所累积的相位变化,n为介质的折射率，h为介质平板的厚度。而对于零折射率材料，由于n=0，所以不论平板的厚度如何改变，光波在其中往返一次所累积的相位变化均为0。由式(5)可知，光波透过零折射率材料的透过率也不会随着平板厚度的改变而改变。我们分别仿真了光波通过不同层数(8层、12层、16层)Dirac锥光子晶体与折射率为1.4的不同厚度(5.0μm、5.5μm、7.0μm)介质层的透射谱，由图5(a)光波通过Dirac锥光子晶体的透过率可以看出，在Dirac点处光波通过Dirac锥光子晶体材料的透过率始终为1，而在偏离Dirac点的位置，由于光子晶体不再等效于零折射材料，所以透过率随着平板厚度的改变而发生了变化；从右侧光波透过折射率为1.4的材料的透过率图中也可以明显看出，没有任何一点在介质层厚度改变时光波的透过率始终不变。

3 零折射率材料的应用：汇聚透镜，波前控制

由仿真实验验证的三个基本物理特性可知，Dirac锥光子晶体确实可以实现零折射率材料的一些物理特性，那么它是否可以实现零折射率材料的一些典型的功能呢？我们也进行了一些仿真实验。这里我们利用以上仿真的零折射率材料的第一个特性——光波通过光子晶体后的出射方向始终垂直于出射面，来实现零折射率材料的聚焦功能。如果我们把光波通过零折射率材料的出射面设计成弧形或半圆型，那么通过它出射的光波将汇聚到一点。图6模拟了这种情况，其中深色箭头表示光波从空气中分别入射到零折射材料和非零折射材料的入射方向，浅色箭头表示光波通

图6 零折射率材料(a)与折射率为1.4的介质(b)模拟汇聚透镜

过介质后的出射方向从左侧图可以看出，让光波从左侧垂直入射，通过将光子晶体排列成一个圆弧形，可以使光波出射后汇聚到一个点上，从而实现汇聚透镜的功能；而右侧使用相同操作的非零折射材料并不能实现光波的汇聚。

4 结语

本文采用商业模拟软件FDTD Solutions对Dirac锥光子晶体零折射率材料进行仿真模拟。仿真实验表明，零折射率与常规正折射率材料相比具有很多奇特的电磁特性。我们通过灵活运用零折射材料可以实现对光路的控制。本次仿真实验结果与物理理论吻合，实验结果可以使得学生对零折射率材料的物理特性有一个感性的认识，对零折射率材料的理解以及相关器件的设计发展也有很好的指导意义。