隔板拓展法在高中数学排列组合问题中的应用

周霞

在高中数学排列组合问题的教学中，让学生掌握正确的解题方法和技巧非常重要，隔板法就是一种很好的典范.隔板法针对不相邻组合问题和追加排列问题在解析上可以发挥很好的辅助效果.随着排列组合问题教学的不断深入，传统隔板法在使用上已经慢慢体现出其局限，因此隔板拓展法逐渐产生.这种在原有隔板法上的变化和延伸能够解决类型更为多样化的排列组合问题，不仅解析的效率更高，解题的准确度也可以得到很好的保障.

一、传统隔板法的应用

隔板法是专门针对一类排列组合问题而产生的解析思路，学生在刚刚接触了解一些具体的排列组合问题时会相应学习这种解题方法，并且会将这种解析思维融入到自己的头脑中.总体来说，传统的隔板法会把隔板“当成”元素插入元素的空隙间，每一种插法对应一种排列组合的方式，以此得到解题结果.传统隔板法在很多排列组合问题中都会用到，能够让问题的解析更加简单高效.

例1：将5个相同的球放入三个盒子，每个盒子均不能为空，共有多少种不同的分配方案？

分析：这是一个典型的不相邻组合问题，可以有效利用隔板法加以解答.教师可以引导学生将问题看成把5个球分成三份，且每份非空，可以用两个隔板达到这个目的.具体来看就是先将5个球并成一排，因为每个盒子非空，故将两个隔板插入4个空，每一种插法对应一种分配方案，故有C24种方案.

上面的范例是传统隔板法的直观应用，这一方法在解析一些簡单直观的不相邻排列组合问题时起到的效果非常直接.在学生刚刚学习这部分知识，接触到一些典型的不相邻问题时，教师可以引导学生使用这种方法解答问题.只有学生对于隔板法的使用越来越熟练，对于这种思维方式的原理有良好掌握，才能够在问题解答上更为轻松准确.

二、隔板拓展法的应用

上面的范例简单直观，解析上也没有太大难度.随着教学过程的慢慢深入，学生会碰到更多更为复杂的排列组合问题.这类问题往往难以用简单的隔板法加以化解，需要学生的思维有所发散及延伸，能够探寻出有效的解答方案.这样的背景下，拓展隔板法随之产生.当遇到的实际问题可能有多种情况时，教师首先应当引导学生做理性分析，让学生将各种不同情况做分类讨论，然后结合每一种情况形成相应的解析思路，再利用传统隔板法逐一加以解答.这类问题相对复杂，对于学生逻辑思维的严密性和解题时思维的清晰性都有要求.

例2：将5个相同的球放入三个盒子，共有多少种不同的分配方案？

分析：与例1相比，不同的是此题允许盒子为空.这样的背景下可以分两种情形来考虑：一种是两隔板相邻，另一种是两隔板不相邻.教师可以引导学生进行分类讨论，分别求出隔板相邻与隔板不相邻时的排列组合方式，两者的和就是最后的答案.如果更深入地探析这个问题就不难发现，此方法可推广到n个球的情形，并且可以得出相应的求和公式.这是很典型的在传统隔板法背景下做出的延伸，是需要学生有效掌握的问题化解思路.

三、隔板法再拓展的应用

随着问题的进一步变换，教师可以引导学生基于原有的问题进行拓展延伸，相应的解题思路也可以进行拓展，隔板法再拓展也随之产生.值得注意的是，无论基本的隔板法如何拓展，教师始终要让学生保持思路的清晰.只有学生对于最基本的模型结构十分熟悉，才会让拓展的过程良好实现，才能层层深入的探析实际问题.此外，教师要训练学生思维的灵活性，要让学生随着问题的变化而调整思路，找到合适的问题分析模型，这样才会让解析过程的针对性更强，问题的解答也更加高效准确.

例3：将5个相同的球放入四个盒子，共有多少种不同的分配方案？

分析：与例2相比，不同的是此题多了一个盒子.结合这个问题便可以进行隔板法再拓展的应用.具体来说，可以先将3个隔板看成是球，与原有的5个球并成一排，再在8个球中任取三个变为隔板即可，而每一种变法就对应一种分配方案.引导学生以这种思路来解析这个问题，解答过程会变得相对清晰，也不会存在漏解的问题.从这个范例中可以看出，虽然在很多不相邻排列组合问题中都可以用到隔板法，但是随着问题形式和考查要点的不断变化，传统的隔板法往往难以适应.这就需要学生具备很好的思维延伸与发散能力，懂得如何进行隔板法的各种拓展与变式，这样才能够让问题解答起来更加方便，能够让学生对各类问题都有较好的处理应对能力.