谈谈数学史对数学教学的帮助

梅波

摘  要：教科书由于篇幅所限，以及对逻辑、体系的追求，提供给学生的往往只是干巴巴的数学结论。如果能从数学史的视角引导学生理解数学概念与数学规则，让学生经历前人探素与发现的过程，那么一方面可以使“数学教学顺应生活事理的逻辑走向，学生的学习可以像呼吸一样自然和朴素”;另一方面则可以通过“浅显的情境去凸显数学思想的深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见厚重，使得数学能够焕发出思想的光芒、经典的力量”。而更为重要的是，数学史在教学中的引入，可以向学生传递这样一种信息：历史上的数学家在研究中也遭遇过很多的曲折和失败，他们也有自己不能解决的问题，我们所遇到问题都是正常的，从而让学生树立顽强钻研的勇气与持续学习的信心。

对于如何将数学史融入数学教学这一问题，国外一些学者在20世纪90年代就已经开展了比较系统的研究，并总结了十余种数学教学中运用数学史的方法。国内的一些研究则将这些方法整合为重构式、复制式两类。

关键词：数学史;重构;复制

一、“重构”历史进程，理解问题起源

“重构式”是指在教学中借鉴或重构知识的发生、发展历史，意图呈现知识的自然发生过程，重构的数学史材料或直接呈现于新概念的引入中.或隐含于某个知识点的发展过程中。

因数、倍数、质数、合数……数论中的这些基本概念如果按照课本的呈现方式展现，学生将有的反应是：学这些东西有什么用？继而会产生这样的迷惑：为什么研究自然数时不讨论“0”？将本单元置于合理的历史背景下，学生学习中的这些困惑将得到一定程度的消解。虽然这些基本概念在历史长河中发生、发展的历程已然无法考证，但我们可以根据概念进行合理的猜想。因此，我将“因数和倍数”单元知识发生发展的背景整体性地置于公元前人类文明的初始时代，在这一历史背景下和学生一起重构了这些基本概念的发展历程。

单元教学伊始，微课“史前时代的数学”带领学生進入了人类文明的初始阶段。学生跟随微课回顾了数的发展历程——自然数自然而然的产生过程，受十根手指影响而确立十进制……那时，没有分数，没有小数，甚至也没有0，当然更没有负数……

理解了历史背景，我告诉孩子们，现在我们穿越时空，回到史前时代，成为那个时代中爱好数学研究的一群人。我们会遇到什么问题呢？

孩子们依据已有的知识背景，提出“史前数学家”最有可能遇到的问题：除法除不尽怎么办？而这正是“因数”和“倍数”概念提出的基础——区分能整除和不能整除的除法，根据能整除的除法将数的关系定义为“因数”和“倍数”。

在这样的历史背景下，很自然地，学生能够理解除法给“史前数学家”带来的困惑，更能够理解为什么要寻找“2、5、3的倍数的特征”——除法这么麻烦，有时能够整除，有时又不能整除，如果能够知道2、5、3的倍数有什么特征，就不用每次都这么麻烦地用除法计算一遍了。

就这样，在师生合力“重构”的历史背景下，这些数学问题的产生和发展既顺理成章，又妙趣横生。

二、“复制”数学问题，感受数学魅力

“复制式”的一个显著特点是在数学教学中直接呈现历史上的数学问题，通过“做数学”来了解数学的历史发展，从而加深对数学理解。“因数和倍数”单元中所牵涉的许多数学问题就是历史上的数学问题，教学中可以直接呈现给学生，并介绍这些问题的解决方法。

例如，课本上让学生用分别划去2、3、5、7等数的倍数找100以内质数的方法，就是由古希腊著名数学家埃拉托斯特尼提出的“筛法”。

在教学时，可以直接出示问题：找出100以内的所有质数，做一个质数表。然后请学生独立思考后讨论：你准备怎样找出100以内的所有质数？学生很自然地会想到一个数一个数地检查、验证;也可能有其他更好的方法。

在学生各抒已见之后，介绍埃拉托斯特尼所提出的“筛法”，并请学生思考“筛法”与一个数一个数地检查、验证的方法相比，好在哪里，接着请学生运用“筛法”在百数表内找出所有的质数。在实际操作的过程中，学生能够体验到“筛法”批量筛除的准确和高效。

关于质数和合数还有一个非常有趣的问题，那就是：有最大的质数吗？

在找完100以内的所有质数之后，我向孩子们介绍了目前数学家们找质数的成果。孩子们果然很好奇地提问了：老师，有没有最大的质数？我故意反问：你们认为呢？由于孩子们已经有了朴素的无限观，因此他们认为，自然数的个数是无限的，没有最大的自然数，所以应该也没有最大的质数，只要不断地找下去，就能找到更大的质数。

孩子们的想法当然是有道理的。但是，数学不只是这样的。我告诉他们，这个问题很早以前就有人提出来，并且已经证明了。是怎样证明的呢？

于是，我们追随古希腊数学家欧几里得的脚步，开始了一段证明。

首先，假设已经找到了所有的质数，其中最大的是n。接着，将所有的质数相乘，2×3×5×7×11×…×n，这是一个什么数呢？当然是一个拥有众多质因数的合数。接下来将这个积加1，记为k，即k=2×3×5×7×ll×…×（n+1）。因为k不是任何已知质数的倍数，所以k一定是一个比n更大的质数。

怎么样？这个证明漂亮吧？这就叫做“反证法”。你能试着用反证法证明没有最大的自然数吗？这个问题对孩子们来说当然是小菜一碟——假设已经找到了最大的自然数n，则n+1是比它更大的自然数……

两个问题都是两千多年前数学家真实研究过的，而他们所采用的解决问题的方法都能够使孩子们理解并尝试加以运用。由此，学生一方面更深入地理解了数学的发展历史，另一方面加深了对数学问题的理解，感受了数学理性思维的魅力。

在数学教育哲学层面上，更为重要的不在于教学的形式，而在于揭示数学到底是什么。我们很难简明地向学生阐述这个问题，但以数学史的视角开展教学，可以带领学生一起感受数学理性、纯粹的美，朦胧而又似乎清晰地把握数学的本质，穿越时空，领略数学在曲折前行中迸发的魅力！