让小学生在“做数学”中发展 “三会”能力

徐德兵

培养学生发展核心素养是落实立德树人目标的重要途径。董奇教授指出，必须将核心素养物化到各学科的教学与评价之中，国家数学课程标准修订组组长史宁中教授指出，中国学生发展核心素养的培养最终要落在学科核心素养的培育上。那么，如何培养小学生的数学学科核心素养呢？

一、小学数学学科核心素养与“三会”能力、“做数学”

史宁中认为，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当学会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，数学核心素养的确定要基于这个目标。目前义务教育阶段数学核心素养还没有讨论确定，但史宁中提出的“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”（以下简称“三会”能力），既体现了数学学科的特点，又囊括了数学核心素养的要求。因此，培养 “三会”能力是目前在小学阶段落实数学学科核心素养培养的最有效途径。

荷兰数学家弗赖登塔尔认为，学一个活动的最好方法是“做”，提出了“做数学”的理念。数学不仅是数学知识的汇集，还是一个包含有猜测与证明、错误与尝试、检验与改进等复杂活动的过程。引导儿童“做数学”，实质就是打开儿童的各种感觉器官，手口脑并用，让儿童充分经历用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的过程，培养数学学科核心素养。

二、引导学生在“做数学”中培养“三会”能力

史宁中教授指出，所谓数学的眼光，本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性;所谓数学的思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性;所谓数学的语言，主要是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性。我们引导儿童“做数学”，要让儿童“做”中进行抽象概括，“做”中开展逻辑推理， “做”中构建数学模型， 培养数学学科核心素养。

1.“做”中进行抽象概括，让儿童用数学的眼光观察世界

数学使用符号来描述现实世界，它不仅是数学知识的汇集，更是一个对客观世界进行抽象与概括、猜测与证明、检验与改进的动态过程。数学知识的学习需要在不同层次上进行抽象概括，每一次抽象概括，都意味着思维进入了一个更为抽象的层级。在概念学习中，数学思维的抽象层级是逐步提高的，如我们拿出一个水杯，告诉儿童这是“1”个杯子，这时儿童的认识处在实物直观层面。后来我们指着儿童绘本中的一个水杯，告诉儿童这是“1”个杯子，此时儿童的认识处在形象直观层面，舍弃了对象的物理属性，这是对实物直观的一次抽象。当我们告诉儿童，一个水杯、一个苹果、一本书……都可以用数字“1”表示时，这时儿童的认识进入了数字抽象水平。在后续的学习中，儿童还将学习用字母表示数，进入更为抽象的思维层级。在解决问题活动中，数学思维的抽象层级也是逐步提升的，最典型的是列出含有括号的算式解决问题：我们知道每一个算式都表示一个过程，但在有括号的算式中，每一个括号都是一次概括，它要求儿童把括号里的算式看一个对象来思考，参与对数量关系的演绎。在“做”中进行抽象概括，实质就是用数学的眼光观察世界。在学习分数1/2时，我们是这样引导学生“做”的：

（1）师：把6个苹果平均分给两个小朋友，每人分多少？用什么表示？把4个苹果、2个苹果平均分给两个小朋友呢？

学生依次回答，分别用3、2、1表示。

（2）师：如果把1个苹果平均分给两个小朋友，每人能分多少？

生：半个。

师：谁能想出一种方法表示半个？

生动手尝试。

（3）学生交流、展示做法，并简单说明理由。主要有：

从学生创造的这些符号来看，他们已基本理解了1/2的意义。第一、二种方法是象形描绘，从第三种方法可以看出学生已发现分数与除法的联系，第四种方法已非常接近通用的表示方法了。这个“做”的过程，实际上是学生用直观形象和数字组合表达自己的观念，是对实物直观的抽象概括，是儿童用数学的眼光在观察世界。

2.“做”中开展逻辑推理，用数学的思维思考世界

数学知识是一个开放的系统，系统中的各个部分以特定的结构和关系组成一个严密的整体。学生只有通过亲身的实践发现这些结构和关系，并利用它们构造出这个系统，这个系统对学生而言才是真正有意义和可用的，否则“只是一堆毫无意义的、孤立的砖头”。因此，要发现这些结构和关系，就离不开逻辑推理。如教学20以内的进位加法整理时，我们是这样引导学生“做”的：

（1）口算，然后把这些算式分类，并说说你是怎么分类的（每个小组提供一套20以内进位加法算式卡片）。

8+7    6+5     9+6    9+7     8+6    7+6   9+5

9+2    8+4     9+3    8+8     7+6    9+4   8+5

（2）根据分类，把这些算式按一定顺序排列出来，并说说你是怎么排列的。

（3）生观察排列的算式，想一想，还缺少哪些算式？从学具袋中把它们找出来，摆在合适的位置上。

（4）各小组依次上讲台展示自己摆出的算式图，说说自己这么摆的理由，有什么规律。

學生在第（2）个环节，找出算式之间的联系，发现其中的规律。在第（3）个环节，根据规律将其余的算式找出来，摆在合适的位置上。这也是一个推理的过程。通过逻辑推理，对已学过的知识进行整理，构建知识网络。通过“做”，让学生充分经历逻辑推理过程，用数学的思维思考世界。

3.“做”中构建数学模型，用数学的语言表达世界

“数学是研究模式和结构的科学”。小学数学中的许多概念和公式都是从现实世界抽象出来的一种数学结构，实际上都是数学模型，是用来表达数学思想的学科语言，即数学语言。解决一个问题时，往往要把这个问题抽象成一个数学模型，通过对数学模型求解而获得原题的解，因此，构建数学模型是一种非常重要的数学能力。教学乘法的初步认识时，我们这样引导儿童在“做”中构建数学模型：

（1）教师出示主题图，学生根据图意列式：

2+2+2+2+2+2=12

4+4+4+4+4=20

3+3+3+3=12

（2）生观察，这些算式有什么特点？你还能写出一些这样的算式吗？

学生观察后发现各个算式的加数相同，并写出了下面一些算式：

5+5+5+5+5+5+5+5+5=

3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=

这个时候，教师请学生们读出这两个算式，在读的过程中，学生逐步体会到，由于相同的加数非常多，很容易出错，自然就产生了一种需要：能不能找到一种比较简单的读法？能不能找到一种简洁的写法，让人一眼就看清楚有多少个5相加？这个时候，就可以顺势引入乘法模型：用“5×9”和“3×13”来表示，引出了乘法概念。学生通过动眼观察、动手列式、动口读题、动脑思考，建构出了他们自己的乘法模型，形成了对乘法的初步认识：表示很多相同的数相加。通过“做”，让学生用数学模型表达自己的思想。

参考文献：

[1]（荷兰）弗赖登塔尔.陈昌平等，译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2]崔允漷.指向学科核心素养的教学即让学科教育“回家”[J].基础教育课程，2019（1）：5-9.

[3]史宁中.推进基于学科核心素养的教学改革[J].中小学管理，2016（02）：19-21.