数形结合思想在初中代数问题中的运用策略分析

吴婧婷

摘 要：数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是初中数学学习中重要的数学思想之一。数形结合思想在代数问题中的应用，可以衔接不同阶段的教学内容，减少学生对代数问题的畏难心理。本文旨在探讨数形结合思想对代数问题的意义及数形结合思想在代数问题中的具体运用。

关键词：数形结合;初中数学;代数

《福建省初中学科教学与考试指导意见（数学）》指出：数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。在解决初中数学问题的过程中，数形结合思想可以将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使抽象问题具体化、复杂问题简单化，拓宽解题思路，优化解题的途径。

数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”指数形结合思想在代数问题中的应用，即以形作为手段、数作为目的，将较难理解的代数问题转化成直观易懂的几何问题，利用几何工具解决代数问题。本文将探讨数形结合思想在初中代数问题中的运用。

一、 数形结合的概述

数与形是数学研究的两大基本对象。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合思想可以将抽象思维和形象思维结合起来，培养学生的数学思维。在初中数学教学过程中，可以利用数轴、图形和平面直角坐标系将代数问题和几何问题紧密联系起来，为解决问题提供新的思路和策略，达到事半功倍的学习效果。

华罗庚先生曾写过一首小诗强调数形结合思想的重要性：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”在《义务教育数学课程标准》规定的初中数学课程内容中，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”均渗透着数形结合思想。数形结合思想不仅能提高教学效率，更能有效训练学生的数学思维，是初中数学学习过程中极重要的数学思想之一。

二、 数形结合对初中代数问题的意义

（一）衔接不同阶段的教学内容

初中阶段的数学知识，起着承上启下的作用。小学阶段的数学知识为易于学生理解较为图像化，高中阶段的数学知识较为抽象化和逻辑化，运用数形结合思想可以很好地衔接这两个阶段。在理解数学概念的前提下，打破数与形的界限，将不同类型的数学知识组合起来，提升学生对数学知识的综合运用能力。学生在思考与讨论的过程中，学会举一反三，以多种视角对问题进行思考，进一步培养学生的数学思维。

（二）减少学生对代数问题的畏难心理

绝大部分数学学习较有困难的初中生的难点，都在于代数问题尤其是代数问题里的函数问题。初中生心智尚不成熟，面对晦涩难懂的代数问题难免有畏难心理，这是可以理解并可以避免的。将数形结合思想运用在代数问题中，可以将复杂的代数问题转变为更直观、易理解的题目，借助直观的几何图形和位置关系等，降低题目的难度，增强学生学习数学的信心，进而提高学习效率。

三、 数形结合在初中代数问题中的运用

在教学实践中需潜移默化的渗透数形结合思想，逐步形成在代数问题中运用数形结合的数学思维模式。以下探索数形结合思想在代数问题中的具体运用：

（一）运用数轴理解数学概念

数轴是初中数学中数形结合的第一个实例，建立了有理数与数轴上点的对应关系：对于每一个有理数，都能在数轴上找到唯一的点与之对应。由此可引申到绝对值、相反数的概念，可运用于有理数的加减法的运算及代数式的化简等。例如，绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，互为相反数概念的几何意义是在数轴上关于原点对称。

在学习实数后，这种对应转变为实数与数轴上点的对应关系。实数包括有理数和无理数，数形结合可以帮助学生更好的理解无理数的概念。例如：如图1，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是-1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是_____。

（二）运用图形比较不等式的大小

借助数轴和图形可以直观感受如何求出不等式的解和不等式组的解集。解一元一次不等式组需要同时满足两个约束条件，学生通常较难理解它们的关系，常搞错符号。将两个不等式表现在同一个数轴上，学生就能清楚地看出两个约束条件的关系，得到最终的解集。

学生在熟练掌握如何解一元一次不等式组后，还可以探究不等式组的有解无解问题，从而加深学生对不等式组解集的理解。在深入挖掘不等式组的含义基础上，运用所给解的局部特征和逆向思维，可以求出参数的取值范围。例如：不等式组3x+a<0

2x+7>4x-1的解集為x<4，则a的取值范围为    。

（三）运用图形推导代数公式

利用几何图形推导代数公式，可帮助学生更好的理解和记忆代数公式。例如两个全等的梯形拼成的一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式，正方形的分割图可以用来记忆平方差公式和完全平方公式等。其中平方差公式和完全平方公式是初中最常用的两个公式，但是学生经常会粗心记错。用图像表示面积得到公式，加深学生的理解，建立由形到数的联想。

在理解公式的几何背景后，还可以用变式巩固用几何图形表示数学公式的方法，让学生深入了解数形结合在代数问题中的运用。例如：如图2，四张相同的矩形纸片拼成一个图形，利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出关于a、b的恒等式    。

（四）画图理解方程的等量关系

方程类应用题的难点在于根据题意列出含有未知数的等量关系。要攻破这道难关，通常需要借助数形结合，根据题意画出相应的示意图。不仅可以清楚地看出题目的出题意向和考查内容，更能将抽象的题意转化成具体的画面，从而找出题目中没有明确提出的隐藏条件。这些隐藏条件往往就是解题的关键，能帮助学生迅速找到解决问题的突破口。

例如：小明以80米/分的速度从家里出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带数学书了。于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在途中追上了他，问爸爸追上小明用了多长时间。将追及问题用图形表示出来，就能一目了然地看出方程的数量关系。

（五）运用直角坐标系表示几何意义

平面直角坐标系把“点”和“有序实数对”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。通过构造几何图形，可以赋予代数表达式几何意义，依靠直观图形帮助解决代数问题。

例如：求代数式x2+1+（x-3）2+4的最小值。整理得x2+1+（x-3）2+4=（x-0）2+（0-1）2+（x-3）2+（0-2）2，建立平面直角坐标系，设P（x，0）为x轴上的点，代数式可分别看成点P到点A（0，1）和点B（3，2）的距离，即表示线段PA与PB的长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值，此时利用对称点就能求解最值问题。

（六）运用图像把握函数性质

函数是初中数学的重要内容之一，也是学生学习数学的一个难点，同时又是数形结合思想体现得最充分的一个内容。利用函数图像的特点可以把握函数的性质，例如，一次函数的斜率和截距，反比例函数的增减性和中心对称性，二次函数的对称轴、开口方向、判别式等，并可用于求解函数的最值问题和值域问题等。

运用图像还可以将方程和函数联系起来。方程和不等式中较难的问题运用函数图象来解决，更易于理解，缓解学生对函数的畏难心理。例如：如图3是二次函数ax2+bx+c<0的部分图象，则不等式ax2+bx+c<0的解集是    。根据图像要求在x轴下方的部分，仔细观察图像，可以发现函数与x轴还有另一个交点，利用图像中的对称轴可以求出。

四、 在教学中提高学生运用能力的建议

（一）紧抓内在核心素养

数形结合思想在教学过程中涉及的数学核心素养主要是数学抽象、直观想象和运算能力。数学抽象是指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征的思维过程。数形结合思想在代数问题中最直接的应用，就是根据题干要求画出符合题干的图形，以辅助分析和理解题目。学生可以清晰地了解出题意向和考查内容，也能从图形中找到题目隐藏的条件。

（二）熟练使用几何工具

数形结合思想以数轴、图形和平面直角坐标系为基本工具。磨刀不误砍柴工，只有掌握基本工具，在分析思考时才能得心应手，及时联想到数形结合思想。函数作为初中数学的一大难点，学生常难以理解函数的内涵与意义，借助平面直角坐标系，将抽象的函数转化成直观的几何图形，能使学生迅速建立起方程与函数的联系。

（三）数形转化的一致性

运用数形结合思想解决代数问题时要注意等价转换原则，即数与形转化前后的一致性和图形的全面性。解决代数问题的方法不唯一，应根据不同的情况作出相应的图形，再进行分析。以多种视角对问题进行思考，进一步培养学生的数学思维。

（四）提高综合运用能力

在感悟渗透数形结合思想的过程中，也渗透着其他数学思想，例如函数思想、方程思想、化归思想、分类讨论思想、归纳推理思想等等。任何一种数学思想在解题过程中都不是孤立的，学习过程中要注重多种数学思想的综合运用。

数形结合思想在代数问题中的运用，能充分提高学生的学习效率。在教学实践中，应采取积极引导的方式点拨学生，点出数形结合解题思路的关键点，启发学生自主探究，在寻找答案的过程中，逐渐领悟数形结合思想。

参考文献：

[1]福建省教育厅.福建省初中数学教学与考试指导意见数学（2018年版）[S].福州：海峽出版发行集团，2018.

[2]冯丽华.数形结合在初中数学教学中的应用[J].理科考试研究：初中版，2015，22（11）：12-13.