形状记忆合金鼓包的挠度控制研究*

2020-06-08

航空制造技术 2020年8期

（南京航空航天大学航空学院机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016）

激波控制鼓包（Shock Control Bump，SCB）是一种流动控制技术，在减小激波阻力的同时具有不附加黏性阻力的特点[1]。鼓包的外形极大影响减阻的效果，很多研究者根据飞行条件研究鼓包的最佳设计参数。Qin等[2]将鼓包分为三维和二维两种，三维鼓包边界全贴合于机翼表面，二维鼓包是部分贴合，比较了两者的减阻效果。李沛峰等[3]利用CFD 仿真计算，系统阐述了鼓包的位置、高度和长度对激波弱化的影响。

但是固定式鼓包的设计参数，如高度、位置等固定，在无激波阻力时鼓包会破坏机翼原有的设计结构，反而会增加飞行阻力。Jlinks 等[4]设计了一种可变挠度的鼓包，采用一块0.6mm 厚的铝制薄板，利用80N 的力驱动器可以产生13mm 的挠度行程，而且可以随时根据飞行条件进行挠度的优化。聂瑞等[5]提出了形状记忆合金（Shape Memory Alloy，SMA）鼓包，通过仿真研究，鼓包升温时挠度变大，降温时挠度变小，在相变过程中的挠度变化可达长度的4%。温度驱动式的鼓包相比于力驱动的鼓包，驱动器设计更为容易，但是在温差过大时耗能会很严重。在飞行器巡航过程中一般环境温度可达–50℃，如果利用环境温度使鼓包为凸起状态，而仅在起飞和降落过程中加热鼓包使其变平则可以大大减少耗能。因此，一个升温挠度变小、降温挠度变大的鼓包更加符合实际应用。

SMA 的驱动控制一般采用闭环控制，其反馈量一般有温度、位移、电阻3 种。电阻反馈一般用在小型的嵌入式驱动器中，以便于系统的集成[6]。对驱动位置的控制精度要求高时，可采用位移反馈[7]。由于丝的精确温度获取不易，采用温度反馈不多见，但对加热速率关心的控制可采用温度反馈[8]。SMA 的控制策略一般分为有模型控制和无模型控制。无模型控制一般是利用PID 控制或结合智能控制的PID 联合控制。Ahn等[9]结合模糊控制和PID 控制策略，用试验证明了其可以成功地进行SMA 丝的位置控制，且效果较单独的PID 控制更好。Ahola 等[10]将抗饱和PI 控制与神经网络控制进行比较，两种方法各有优缺点。有模型控制即先对SMA 丝的温度–位移迟滞效应进行建模，常采用Preisach 模型[11]和Prandtl-Ishlinskii（PI）模型[7]两种，然后根据逆模型进行控制。有模型控制和无模型控制都可以进行稳态控制，需要快速跟踪控制时适合采用有模型控制，无模型控制的优点在于控制算法较为简单，适合在计算资源不丰富的情况下使用。

驱动器中使用的多为SMA 丝，可以通过电流来加热，响应速度快，且散热容易。SMA 鼓包是板状材料，只能采用接触式和辐射式的加热方式，驱动速度慢，相变导致的宏观位移变化也比较复杂，因此板状SMA 的驱动控制研究较少。SMA 丝作为驱动器一般需要设计额外的传动装置，SMA 鼓包则不需要，SMA 鼓包的优点是一体性好，因此对其进行驱动控制研究也有重要的意义。

本文针对具有双程记忆效应的SMA 鼓包，建立了温度–挠度的迟滞模型，并用试验验证了应用该模型可以提高挠度的控制效果，为SMA 鼓包的驱动控制提供了一种思路，同时也为验证SMA 鼓包可以应用在SCB上打下了基础。

1 SMA 鼓包简介

SMA 鼓包的材料是Ni50.1Ti49.9，半径60mm，厚度0.55mm，变形区的半径为40mm。经过训练可获得双程记忆效应，即在通过施加压力使鼓包产生弯曲，再进行高低温循环数10 次，如图1所示。

关于训练的详细说明可参考文献[12]。将训练好的鼓包安装在平台上，凸起的面朝上，如图2所示。以鼓包在–20℃时的中心点位置为零参考点，在外界环境温度不变、不施加外载荷的条件下，鼓包的温度和中心点挠度的关系如图3所示，可回复位移约为1.2mm，占鼓包长度的1.5%。图3中曲线的Ⅰ～Ⅱ段和Ⅲ～Ⅳ段是鼓包的相变阶段，0～I 段和II～III 段是鼓包的热膨胀阶段，相变温度分别为As=50℃，Af=120℃，Ms=62℃，Mf=5℃。

鼓包在真实的应用环境中会承受外加载荷并受到环境温度的影响。非均匀温度场会改变鼓包在升降温过程中的挠曲线，但不影响鼓包的最大变形能力[13]。随着鼓包表面压强的增加，鼓包的变形性能会逐渐衰减。对于一个0.55mm 厚度的SMA 鼓包，在鼓包的上表面承受4000Pa 压强时，鼓包的最大变形能力会衰减12.5%，衰减之后的变形能力依然可以满足激波控制的要求[13]。

图1 SMA鼓包训练示意图Fig.1 Training diagram of SMA bump

图2 SMA鼓包的安装Fig.2 Installation of SMA bump

图3 SMA鼓包中心点挠度与温度的关系Fig.3 Relationship between temperature and deflection of center point of bump

2 SMA 鼓包的迟滞模型

迟滞现象是指系统输出不仅与当前的系统输入有关，而且与系统的历史输入极值有关的一类现象。具体表现为体统的输入与输出并非一一映射关系。在SMA鼓包中，迟滞现象即表现为温度与挠度之间的多映射关系，如图3所示。

2.1 Preisach理论

Preisach 模型常被用来描述压电[14]、SMA 材料[15]的迟滞行为。Preisach 模型由一系列连续的双稳态单元组成，如图4所示。γαβ是一个基本的迟滞算子，可由矩形状的环表示，α和β分别表示输入的上下切换值，即表示一个双稳态，当输入值大于α时，γαβ值为1，当输入值小于β时，γαβ值为0。数学表达式可以写作：

式中，μ（α，β）表示密度函数；u（t）表示输入量。

假设一个系统的输入量从0 开始变化，其Preisach模型的几何解释如图5所示。

三角形表示Preisach 平面，γαβ和（α，β）在三角形内具有一一对应关系，密度函数μ（α，β）在内部为非负函数，在外部取0。当输入量增加到α1时，其对应的Preisach 平面以α=α1为分界线，S+表示γαβ为1，S–表示γαβ为0。当输入量下降到β1时，会产生一条竖直方向的分界线β=β1，此时S+的面积会缩小。当输入量增大到α2时，此时的分割线为α=α2。由此可发现规律，即输入量上升时会产生水平分割线，下降时会产生竖直分割线。由此可得，在任意一个瞬时，输出表达式可以写作：

式（2）表明，Preisach 模型的输出与三角形S+的动态划分有关，即与输入量的极值有关。

2.2 数值实现

由于式（1）的Preisach 模型是一个双积分式，其中基本算子的数量是无限的，为了节省计算资源和满足实时控制的需求，一般要进行离散处理。文献[16]提供了一种思路，首先定义等价函数：

式中，yα是输入量为α时的输出；yαβ是输入量由α单调下降到β时的输出，又称一次下降曲线。

由图5中的（b）可得，密度函数在S+区域的积分就是输入量为α1和β1时的输出差值。即：

图6是一个典型的输入变化时的S+区域的动态划分，其中图6（a）表示输入最终减小为某一个值u（t），图6（b）表示输入最终增加到某一个值u（t）。S+可以由一系列的Qk组成，表达式可以写作：

图4 Preisach 模型原理Fig.4 Principle of Preisach model

图5 Preisach模型的几何解释Fig.5 Geometric interpretation of Preisach model

Qk面积即可以表示为T（Mk，mk–1）和T（Mk，mk）面积之差：

又因为：

由式（6）、（7）、（8）可得：

由式（2）、（5）、（9）可得：

由图6（a）可得，当输入量最终增加至某一个值u（t）时，有mn=u（t），式（10）可以写作：

若输入量最终减小到某一个值u（t）时，有Mn=mn=u（t），式（10）可以写作：

由以上分析得，可以用一系列离散的的一次下降曲线来近似表示系统的输出。

2.3 模型辨识

通过2.2 节的讨论，将一节下降曲线中的端点温度离散处理，用试验的方式可获取各个离散温度下的一次下降曲线[17]。对Preisach 平面进行以下网格的划分：

则一共为110 个网格点，排除α、β的35 个网格点，实际需要测量75 组数据。设鼓包在马氏体相变结束温度以下为负饱和状态，在奥氏体相变结束温度以上为正饱和状态。从负饱和状态开始升温，分别测量每个离散温度对应的格点上的F（α，β），通过MATLAB 中的线性插值将网格点细分，每1℃设置一个网格点，可以得到Preisach 平面，如图7所示。

3 SMA 鼓包的挠度控制系统设计

3.1 PID控制

PID 控制是一种线性控制方法，它根据目标值r（t）和实际输出值y（t）构成控制偏差e（t），即e（t）=r（t）–y（t），对偏差e（t）进行比例、积分、微分运算，将3 种运算结果相加，得到控制输入u（t）。图8是PID 控制的原理。

PID 控制在连续时间域的表达式为：

式中，kp为比例系数；Ti为积分时间常数；Td为微分时间常数。

数字控制系统是一种采样控制，只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，因此式（14）不能直接用于数字控制系统，需要进行离散处理。以一系列的kT（T为周期）代表连续时间t，可近似得到以下用于实时数字控制系统的离散化的PID 表达式：

图6 Preisach模型的动态划分Fig.6 Dynamic division of Preisach model

图7 插值得到的Preisach平面Fig.7 Interpolated plane of Preisach

图8 PID控制原理Fig.8 Principle of PID control

式中，kp为比例系数；ki为积分系数，ki=kp/Ti；kd为微分系数，kd=kpTd；u（k）为第k次采样时控制器输出；e（k）为第k次采样时刻输入控制系统的偏差值；e（k–1）为第k–1 次采样时刻输入控制系统的偏差值；T为采样周期。

3.2 控制系统设计

图9是控制流程的示意图。

利用PXI 系统搭建了控制平台，全部的试验装置及连接如图10所示。

传感器使用热电偶采集温度，激光位移传感器采集位移，两者通过相应的采集卡将信号传输给控制器。控制器是一台计算机，在其上运行LABVIEW 软件，对采集的数据进行PID 计算并输出相应控制量，一路通过PID 计算得到u1信号控制加热，另一路通过开关量u2控制冷却。驱动器分为加热驱动器和冷却驱动器，分别采用两根电阻加热棒辐射加热和液氮喷气冷却。利用采集卡PXIE–4300 采集位移信号，PXIE–4353采集温度信号，其中参与PID 反馈运算的是位移信号，NI–9264 是用来输出两路控制的信号。

鼓包的LABVIEW 程序中温度误差和位移误差同时参与PID 计算，只有两类误差均为0，才会停止输出控制量，防止当位移误差不再变化时，温度变化导致热膨胀产生。图11是三维鼓包的LABVIEW 控制程序的结构。