具有时滞的分数阶微分方程的特征根解

马俊风，陈茜瑶

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

17世纪末Newton和Leibniz创立微积分，到19世纪末分数阶微积分的理论体系才被逐步建立、发展和完善起来。分数阶微积分在Maxwell模型、Voigt模型和Kelvin模型中有广泛的应用[1]，文献[2]归纳和总结了分数阶微分方程，文献[3]给出了Fokker-Planck方程的数值解，这里主要讨论的是Caputo型分数阶导数。众所周知，时滞分数阶微分方程具有很重要的特性，是讨论分数阶微分方程解不可或缺的部分。文献[4]讨论了不含时滞的分数阶微分方程的特征根解法，本文在其基础上考虑具有时滞项对于分数阶微分方程特征根的影响，使得所讨论的分数阶微分方程更具有普遍性。

1 预备知识

引理1[5]设函数f(t)定义在区间(a,b)上，σ＞0，n是大于等于σ的最小整数，则阶数为σ的Caputo型分数阶导数定义为其中n是大于等于σ的 最 小 整 数 ，f(n)(ξ) 为 函 数f(ξ) 的n阶 导 数 ，Γ(⋅) 是 Gamma 函 数 ，Γ(n-σ)=

引理2[6]有关指数函数f(t)=eλt和常数f(t)=c在Caputo型分数阶导数如下：

其中n是大于σ的最小整数。

这里令积分下限t-ξ=u，所以du=-dξ，则

2 主要结果

接下来分两种情形进行讨论。

情形1求类型下的解。先考虑的是当的情况，即求qf(t-τ)=0，q为正常数的通解。

解令f(t)=eλt，则有是方程的解，显然当f(t)=0 时也是方程的解。故方程的解为f(t)=为任意常数。

解令f(t)=eλt，则有

根据Caputo型分数阶导数具有的线性性质，所以原方程的通解为

f(t)=C1y1+C2y2+C3y3+…+Cm-1ym-1+Cmym,其中Ci(i=1,2,3,…,m)为任意常数。

接下来给出以下两个例子。

例1求是正常数）的通解。

根据Caputo型分数阶导数具有的线性性质，所以原方程的通解为

例2求是正常数)的通解。

解令f(t)=eλt，则有得

由Caputo型分数阶导数具有的线性性质可知，原方程的通解为

情形2考虑类型得解。

解令f(t)=eλt,则有从而得到

由Caputo分数阶导数的线性性质，所以原方程的通解为

（2）当n=2m+1,m∈ ℤ+时，求的通解。

解令f(t)=eλt，则有或

由Caputo 分数阶导数的线性性质，所以原方程的通解为f(t)=C0+C1y1+C2y2+…+C2my2m+C2m+1y2m+1，其中Ci(i=0,1,2,3,…,2m+1)为任意常数。

3 总 结

对于指数和常数类的分数阶微分方程可以使用常微分方程中特征根的解法进行求解，对于含时滞的微分方程可以看出其结果与时滞项有很大的关系，通过给出的例子与运算结果可以看出，时滞项包含了τ=0的一般情况时，在结果上，不光影响实数部分，对于虚数部分也有很大的影响，取决于f(τ)的数值大小。