一类数字半群容许的型

2020-06-08孙广人

安庆师范大学学报(自然科学版) 2020年2期

潘萍，孙广人，吴琳，凌燕

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

令ℕ是所有非负整数构成的集合，若ℕ的子集S包含0，对加法封闭，且S在ℕ中补集有限，则称S是数字半群。S中最小的非零整数称为S的重数，用m(S)表示。S的导子是唯一的整数c∈S，使得c-1∉S且c+N∈S[1]。不属于S的最大正整数称为S的Frobenius数，用F(S)表示，F(S)=c-1。令x∉S，若对任意的正整数s∈S，有x+s∈S，则称x是S的伪Frobenius 数，用PF(S)表示。令A是 ℕ 的非空子集，由A⊆ℕ生成的ℕ的幺子半群是最小的包含A的幺子半群，通常用A表示，即

不难证明当且仅当A中元素的最大公约数为1时，A是数字半群[2]。因为当A中元素的最大公约数大于1时，A在ℕ中的补集不是有限的，故在此情况下A不是数字半群。若S是数字半群且A是S的子集，则A是S的生成元系，即A=S。若没有A的其他真子集生成S，则称A是S的极小生成元系，用E(S)表示。每个数字半群都有唯一的极小生成元系，且极小生成元系具有有限多个元素[3]，称极小生成元系的基数为S的嵌入维数，用e(S)来表示。

目前数字半群及其理想的型（pattern）是一个研究热点问题[4-9]。文献[4]中引入了数字半群的型的概念，并描述了至少可以被一个数字半群容许的型，并定义为可容许型，还介绍了减法型以及布尔型；文献[5]研究了非齐次线性型被容许的条件；文献[7]介绍了数字半群的理想的型。本文是在此基础上，研究形如的数字半群所容许的型。

文中集合{ 0 ,m,→ }中的“→”表示m后续的所有自然数都属于这个集合表示数字半群S中的非零元素n的 Apéry 集，即{x∈S|x-n∉S}；amodb表示a除以b的余数；I-J表示集合对任意的a∈J}；nM(S)表示几个M(S)集合相加，即集合。

1 型

长度为n的型p是关于x1,x2,…,xn的具有非零元系数的线性多项式，即若对数字半群S中的任意n元非增序列(x1,x2,…,xn)，有p(x1,x2…,xn)∈S，则称数字半群S容许型p(x1,x2…,xn)。当a0=0时，称型p为齐次线性型；a0≠0时，则称型p为非齐次线性型。

命题1给定一个型则下列条件等价：（1）存在一个数字半群容许p，（2）ℕ容许p，（3）对任意n′≤n，有满足这3个条件中的任意一个条件的型称为可容许型。

定义1[4]给定一个型设

若p是容许型，且p′也是容许型，则称型p是强容许型。

命题2[4]令是长度为n的强容许型，则对任意的x1≥x2≥…≥xn，有p(x1,x2,…,xn)≥x1≥…≥xn。

定义2若除最后一项系数为-1外，其余项系数都为1，则称型p为减法型，且减法度为n-1。

定义3若型的系数全为1或-1，则称型为布尔型。

命题3[4]若型p具有有限正容许度k，则型p为

其中，f中所有系数为正，g，h都是可容许的，且g中所有系数之和为0，h中系数之和非负。

称数字半群{ 0 ,m,→ }为常半群，即半群{ 0 ,m,→ }={ 0 }⋃{z∈ ℕ|z≥m}。令q∈Q，定义是所有整数的集合）。

引理1令m为正整数，则是数字半群。

证明已知显然 0 ∈S。对任意的a,b∈S，满足a+b∈S，因此可得S对加法封闭。又因为{ 0 ,m,→ }是数字半群，{ 0 ,m,→ }⊆S，故S在ℕ中补集有限。因此，S是数字半群。

引理2令m为正整数，则数字半群具有极大嵌入维数。

证明①当m为奇数时，有，

其中

②当m为偶数时，有，

其中

引理3令m为正整数，则数字半群是Arf数字半群。

证明已知故c=m-1。要证明S是Arf数字半群，需证明对任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，有x+y-z∈S[10]。

①若x≥m-1，则对任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，故y-z≥ 0，因此有x+y-z≥x≥m-1∈S；

②若x＜m-1，因为x,y,z∈S且x≥y≥z，所以有。又因为S是数字半群，故S对加法封闭，因此对任意的x,y,z∈S且x≥y≥z，有x+y-z∈S。综上所述，对任意的x,y,z∈S，x≥y≥z，有x+y-z∈S，故S是Arf数字半群。又由文献[7]可知Arf数字半群容许Arf型，因此数字半群容许Arf型。

定理1令m为正整数，则数字半群容许任意的强容许型。

证明令是强容许型。已知由命题2可知，对S中任意的非增序列(x1,x2,…,xn)，有p(x1,x2,…,xn)≥x1≥…≥xn。

①若x1≥m-1，则p(x1,x2,…,xn)≥m-1∈S。

②若x1＜m-1，则对任意的有因此分3种情况讨论：

（i）当x1=0=x2=…=xn时，有；

综上所述，数字半群S容许任意的强容许型。

定理2令m为正整数，则数字半群容许任意的减法度大于等于2的减法型。

证明令型p(x1,x2,…,xn-1,xn)=x1+x2+…+xn-1-xn是减法度为k的减法型，即

假设k≥ 2，且(x1,x2,…,xk+1)是S的非增序列。要证p(x1,x2,…,xk,xk+1)∈S，则需要分2种情况讨论：

正如假设的k≥ 2，则p(x1,x2,…,xk,xk+1)≥( 2 -1 )(m-1 )=m-1。又由引理2可知F(S)=m-2，因此p(x1,x2,…,xk,xk+1)＞F(S)，故p(x1,x2,…,xk+1)∈S。

假设k＜ 2 ，且数字半群S容许型p。由x1=m，x2=m-1 可得p(x1,x2)∈S。然而m-(m-1 )=1∉S，这与上述条件矛盾，故S不容许任意的减法度小于2的减法型。

定理3令m为正整数，则数字半群容许任意的可容许度大于等于2的布尔型。

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证明令型p是长为n、可容许度为k的布尔型。令f、g、h如命题3所示，f中所有系数为正，g中所有系数之和为0，且h中的系数之和非负，记为X。

假设k≥ 2，且(x1,x2,…,xn)是S的非增序列。要证p(x1,x2,…,xn)∈S，则分2种情况讨论：① 若，则因此可得，其中b,c∈ℕ 。于是有p(x1,x2,…,xn)=f(x1,x2,…,xk-1)+。

假设k＜2且S容许型p。由文献[4]中命题43可知减法度为k的减法型诱导可容许度为k的布尔型，因此S也容许减法度小于2的减法型。然而，由定理2可知S不容许减法度小于2的减法型，这与前面的条件矛盾。故S不容许可容许度小于2的布尔型。即S容许任意的可容许度大于等于2的布尔型。

例1令m=8，有数字半群S={ 0 ,4,7,→ }，则S容许型p=x1+x2-x3+x4-x5。

命题4令m为正整数，则数字半群被S容许，则对任意的a0∈S，有S容许型。

例2令m=10，有数字半群S={ 0 ,5,9,→ }，则S容许型p=x1+x2-x3+11。但因为有0 ∈p(S),所以只有满足a0＞0时，非齐次线性型是可容许型。因此，若要研究a0＜0，则需要在S的理想上进行研究。

数字半群S的相对理想是满足对d∈S，有H+S∈H且H+d∈S的集合H，H∈ℤ。S中包含的相对理想是S的理想，若S的理想不同于S，则称这个理想是S的真理想。S的真理想集中的最大元素称为S的极大理想，即S的非零元素集，用M( )S表示[7]。

命题5令m为正整数，则被S的极大理想M(S)容许，则对a0∈PF(S)，有S的极大理想M(S)容许型。

定义4[7]令I和J是数字半群S的两个理想。对于d∈ℕ{ 0 }，定义集合

且称PFd(I,J)为从I相对于J的距离为d的元素集。

数字半群S相对于它的真理想J的李普曼半群是L(S,J)= ∪h≥1(hJ-hJ)[10-11]，这也称为J的单相交。半群L(S)=L(S,M(S))也称为S的李普曼半群或S的单相交。若存在h0≥1,使得对每一个h≥h0，L(S,J)= (hJ-hJ)或(h+1)J=hJ+m(J)成立，则称h0为J的约化数。

定理4当数字半群S具有极大嵌入维数时，则PFn(S,M(S))=E(S)-nm(S)。

证明定义D(d,M(S))={z∈ ℤ|z+dM(S)⊆S,z+dM(S)⊄dM(S) }，即D(d,M(S))={z∈ ℤ|z+dM(S)⊆S,z+dM(S)⋂(SdM(S))≠ ∅}。

对n进行归纳假设。当n=1时，结果显然成立。假设n-1时，结果也成立。下面证明当n时结果也成立。

根据定义，若d使得L(S)= (dM(S)-dM(S))，则(S-dM(S))=L(S)⋃D(d,M(S))。当S具有极大嵌入维数时，则对任意h≥1，S的李普曼半群L(S)= (hM(S)-hM(S) )[7]。因为