有序Hadamard型分数阶积分微分方程解的存在性

李耀红，张海燕,2

（1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000；2.安徽大学数学学院，安徽合肥230601）

近年来，分数微分方程模型在理论和应用上广受关注，它是处理力学、控制理论、信号和图像处理等领域中数学问题精确描述的一个重要工具，相关研究有许多优秀成果[1-5]。需要指出的是，目前大多数已有研究结果都是就Riemann-Liouville或Caputo分数阶定义的微分方程，而基于Hadamard分数阶定义的微分方程问题研究相对较少。Hadamard 分数阶定义中包含以对数函数为底的幂指函数，计算复杂，但其在解决某些涉及对数运算的分数阶方程模型时十分有效[6-7]。最近，文献[8]研究了一类有序Caputo分数阶微分方程组解的存在性，文献[9]讨论了几类有序Hadamard分数阶微分方程初值问题，并利用变参数技巧获得相应问题解的存在性。

受上述文献结果的启发，本文考虑如下有序Hadamard分数阶微分方程：

这里D(⋅)和I(⋅)分别定义为 Hadamard 分数阶导数和积分是一个连续函数。和文献[8-10]相比，本文非线性项中含有Hadamard分数阶积分和导数，这和已有研究问题显著不同，而且研究结果在应用上更为方便，同时边值条件为Hadamard分数阶积分形式，其涵盖多点边值条件，适用范围更广。特别地，通过引入一些记号，简化了解存在性的研究过程。

1 预备知识

定义1[1]函数g:[1,+∞)→ℝ的α阶Hadamard分数阶积分定义为

定义2[1]函数g:[1,+∞)→ℝ的α阶Hadamard分数阶导数定义为

其中n-1＜α＜n,n=[α]+1。

引理1[1]若α＞ 0，u∈C[1,e]⋂L[1,e]，则IαIβu(t)=Iα+βu(t),Dα(Iαu(t))=u(t),

其中ci∈ℝ(i=1,2,…,n),n如定义2所述。

引理2若y(t)∈C([1,e],ℝ）且1＜α≤2,则有序分数阶微分方程

在边值条件（2）下有唯一解

其中A≠B,且,

证明对（3）式两边利用积分算子Iα积分，从引理1可知方程（2）的通解为

由边值条件u(1)=0,可知c2=0。接着对（5）式求导，则

在（6）式两边乘积分因子tk，化简得

对（7）式两边同时积分知

又由边值条件u(e)=Iγu(η)知

故

将c1代入（8）式即得（4）式，引理得证。

引理3（Banach压缩不动点定理）[11]设D是Banach空间X的闭子集，T:D→D是一个严格的压缩映射，即∀x,y∈D,|Tx-Ty|≤k|x-y|成立，其中0 ＜k＜ 1，则F在E中有唯一不动点。

引 理 4（Leray-Schauder 抉 择 原 理 ）[11]设T:D→D是 一 个 全 连 续 算 子 ，令M={x∈D:x=λT(x),0 ＜λ＜1 }，则要么M是E中无界集，要么T在D中至少有一个不动点。

2 主要结果

记X={u|u∈ C([1,e],ℝ )且Dβu∈C([1,e],ℝ )}，显然X在范数

下是一Banach空间。依据引理2，定义算子T:X→X如下：

则有序Hadamard分数阶微分方程(1)和(2)有解等价于算子Tu(t)=u(t)在X中有不动点。为方便计算和表示，记：

引理5若任意y∈C[0,1]，则有

证明（i）由于则

从而（i）式得证。类似计算易证(ii)和(iii)结论成立。

定理1假若g:[1,+∞)→ℝ是一个连续函数且对任意xi,yi,zi∈ℝ(i=1,2)满足下面

Lipschitz条件：

且λHF＜1，则有序分数阶微分方程（1）和（2）在X中存在唯一解。

证明令定义

则TMr⊂Mr。事实上，对任意u∈Mr，根据（11）式可知

于是由引理5知|Tu(t)|≤G(λFr+r′)。

又注意到

类似于（13）式有

结合（14）和（15）式有

注意到λHF＜1，故T是压缩算子。从而由引理3知算子T在Mr中有唯一不动点，即有序Hadamard分数阶微分方程（1）和（2）在X中存在唯一解。

定理2假若g:[1,+∞)→ℝ是一个连续函数且存在实数μi＞0(i=0,1,2,3)，使得

成立且HL＜1，则有序分数阶微分方程边值问题（1）和（2）在X中至少有一个解，这里

证明首先分3个步骤证明算子T在X中是全连续的。首先，根据函数f的连续性易知算子T也是连续的；接着，任取有界集其中l＞Hμ0(1-HL)-1，则对∀u∈Ml，依据（16）式知

同时，当t2→t1时，有

因此当t2→t1时，由（18）和（19）式有

即||(Tu)(t2)-(Tu)(t1)||X→0，则T在Ml上是等度连续的。依据以上3步结果，由Arzela-Ascoi′s 定理可知算子T在Ml上是全连续的。

下面再证明算子T在X中具有不动点。记M={u(t)|u∈X,u=θ(Tu),θ∈(0,1)}，故M是有界的。这是因为，对∀t∈[1,t],u∈M，由(16)式有

又因为HL＜1，故M是有界集，于是由引理4知算子T在X中至少有一个不动点，即有序分数阶微分方程（1）和（2）在X中至少存在一个解。

例考虑如下有序Hadamard分数阶微分方程积分

这里

则

3 总 结

本文利用Banach压缩不动点定理和Leray-Schauder抉择原理,结合一些新引入的函数简记符号，研究了一类具有Hadamard积分边值条件的有序Hadamard分数阶积分微分方程边值问题,获得了该问题解存在唯一性的充分条件，并通过例子说明结果的应用。特别地，当（2）式中η=1 时，则u(1)=0,u(e)=0，问题（1）（2）为典型的分数阶微分方程两点边值问题，因此本文研究问题是两点边值问题的推广，具有更广泛的应用价值。