非线性模糊Volterra积分微分方程的解析解

马逸民，洪世煌

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

模糊Volterra积分微分方程是模糊分析理论的重要组成部分，在控制理论中具有重要的理论意义和应用价值。许多学者对模糊Volterra积分微分方程做了大量研究。如B.Bede等[1-2]给出广义Hukuhara导数的概念，利用特征定理将一阶模糊微分方程转化为微分方程组，求出一阶模糊微分方程的数值解。J.Matkowski[3]研究了度量空间上的广义压缩。本文主要讨论非线性模糊Volterra积分微分方程的解析解，证明了非线性模糊Volterra积分微分方程解的存在唯一性，推广了文献[2]中的特征定理，并获得了非线性模糊Volterra积分微分方程的解的解析表达式。

1 预备知识

R表示实数集，记RF={u|u∶R→[0,1]}，若下列性质成立，则称RF为模糊数空间[1-2]。

(1)u是正规的，即存在x0∈R，使得u(x0)=1；

(3)u在R上是上半连续的；

显然R∈RF，其中R={X{x}∶x是一个常实数}，X是一个特征函数。

定义函数d∞∶RF×RF→R+∪{0}如下：对于任意的u,v∈RF，

定理1[3]令(X,d)是完备度量空间，自映射T∶X→X满足

定义1[2,4]令x,y∈RF。若存在z∈RF，使得x=y+z，则称z是x与y的Hukuhara差，记作x-Hy。

定义2[1]令f∶(a,b)→RF且x0∈(a,b)。若存在f′(x)∈RF使得：

(1)对于足够小的h>0，f(x0+h)-Hf(x0)和f(x0)-Hf(x0-h)存在且极限

则称f在点x0是(1)-可微的；

(2)对于足够小的h>0，存在f(x0)-Hf(x0+h)和f(x0-h)-Hf(x0)使得

则称f在点x0是(2)-可微的。

当f在点x0是(1)-可微或(2)-可微时，则称f在点x0是强广义可微的。

引理2[5]非线性模糊Volterra积分微分方程

(1)

等价于下列模糊积分方程之一，其中f,k为模糊函数：

2 主要结果

(2)

(3)

进一步，若u(t)是定义1中的(1)-可微，将方程(1)转化为：

(4)

若u(t)满足定义1中的(2)-可微，将方程(1)转化为：

(5)

利用方程(2)和方程(3)，不难将方程(1)转化为：

(6)

下面的定理见文献[5]，本文采用与文献[5]不同的方法给予证明。

定理2假设f∶[0,1]×C([0,1],RF)→RF，k∶[0,1]2×C([0,1],RF)→RF连续。若存在常数L1，L2>0,使得：

则方程(1)对每种可微性在[0,1]上都有唯一解。

证明假设方程(1)是(1)-可微的，任给u∈RF，t∈[0,1]，定义算子G如下：

那么G∶C([0,1],RF)→RF连续，且对给定的t0∈[0,1]，有

G∶C([t0,t0+a],RF)→C([t0,t0+a],RF)，这里0

对于每一个u,v∈C([t0,t0+a],RF)，且u≤v，由Hausdorff距离的性质，有

若方程(1)是(2)-可微的，证明类似。证毕。

定理3设f∶[0,1]×RF→RF，k∶[0,1]2×RF→RF满足如下条件：

(ii)存在L1，L2>0，使得

对所有r∈[0,1]都成立，则方程(1)与方程(6)等价。

下面考虑方程(1)是带三角模糊初值条件的情形：其中

(7)

(8)

将方程(1)转化为下列积分微分方程组：

(9)

故方程(1)和方程(9)均存在唯一解。由于方程(9)等价于积分方程：

3 结束语

本文给出了非线性Volterra模糊积分微分方程解存在唯一性的充分条件和解析解的表达形式，研究过程是先给出非线性Volterra积分微分方程的两种特征定理，并利用特征定理将其转化为积分微分方程组，然后验证方程组的解的存在性。下一步将研究高阶Volterra模糊积分微分方程的求解方法。