寻找条件

要求一个长方体或正方体的表面积和体积，只要知道它们的长、宽、高或棱长，就能运用表面积或体积计算公式解答。可是如果题目没有告诉我们这个长方体的长、宽、高，怎么办？请看下面的例子。

例1：右图是一个长方体纸盒的展开图，这个纸盒的表面积和体积各是多少？

思路点睛：从图中我们可以看出，这个长方体纸盒的长应该是6厘米，宽是2厘米，高是4厘米。根据这些信息，这个长方体纸盒的表面积是（6×2＋6×4＋2×4）×2=88（平方厘米），体积是6×2×4=48（立方厘米）。

上面的这个问题，长方体的长、宽、高都能从图上看出来。下面的这个问题，长方体的长、宽、高从题目中看不出来。

例2：一个长方体，前面和上面的面积之和是209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，并且这三个数都是质数。这个长方体的体积是多少？

思路点睛：设长为a 厘米，宽为b 厘米，高为h 厘米，其中a＞b，如右图。

从图上看出，长方体前面的面积=a×h，上面的面积是=a×b，前面和上面的面积之和是ah+ab=a（h+b）。

再根据“前面和上面的面积之和是209 平方厘米”，我们可以把209 分解质因数，即a（h+b）=209=11×19。因为11和19都是奇数，所以（h+b）的结果必为奇数；而a、b、h又都是质数，因此h和b中必有一个为质数2，否则其他质数都是奇数，奇+奇=偶，不符合上面分解的结果。

下面看看h+b是等于11，还是等于19，我们可以来试验一下。

若h＋b=11=2＋9，因为9不是质数，所以不合题意；

若h+b=19=2+17，均为质数，符合题意。

所以a=11，b=2，h=17，体积等于a×b×h=11×2×17=374（立方厘米）。

答：这个长方体的体积是374立方厘米。