学生编题在高三数学复习阶段教学中实践研究

徐斌华

杭州市西湖高级中学，浙江杭州310023

1 问题提出

1.1 课堂教学学生主体性不强

高三复习，教师往往会觉得教学课时紧张，每堂课都有讲不完的概念和习题。唯恐漏掉某个知识点考而未提及，唯恐上课漏讲一题或未讲清楚。教师讲解为主，学生追着老师跑，学生主体主动地位并不强，学生参与性不足，复习课效率肯定打折扣。

1.2 解题教学中学生“懂而不会”

一般解题教学模式也往往是教师出题学生解，在典例环节教师往往进行解题的“说唱”或“表演”，就题论题地讲解题目，学生往往是听者或看者角色，就像参加一场“演唱会”。有时学生对教师的巧思妙解往往停留在模仿，没掌握本质和通法，“懂而不会”，解题效率低下。还有为了学生的会，往往会陷入不断重复训练。

若换位思考，让学生站在教师的立场去经历选题、编题、解题的过程，是否有助于解决或改善上述问题呢？

2 核心概念

2.1 学生编题

学生编题就是学生对典例（例题、错题）进行改编，或对老师给定的开放题中条件（结论）进行补全并验证可行性。

2.2 实践原则

2.2.1 凸现了学生的主体地位，推动学生主动解题

中学数学教学在课堂上需要教会学生如何解题，为了提高学生参与度和投入度，教师可以通过布置学生积极参与讲题、编题任务。我们都知道编题必须通过不断解题尝试才能顺利完成，从而让学生在编题活动中不自觉地就主动投入到学习活动中来。

2.2.2 促使学生体验出题者心态，提高解题境界高度

学生编题让学生体验出题者的心态，感知出题者的意图，考量出某道题所考的知识点，重点难点，思维要点等。整个编题过程要求学生必须明白“是什么”，还要理解“为什么”。这样就会让学生成为某种题型的“研题者”，日后在碰到同类问题或者同类题型就会触类旁通，或者能及时发现破题的关键和解题的核心，从而提高了解题的正确性，也会提高解题的速度。久之能力也得以提升，有生成点。

3 具体实施

3.1 “试水”：类似“错点”题型寻找，让学生在章节复习课学会举一反三

初期，学生编题毫无经验，可以让学生先“试水”，开展类似“错点”题型寻找任务。学生在做作业过程中，针对错题不仅仅是订正结果，分析错误原因，还补上另一作业——按照错误原因寻找类似“错点”题型，从而在测试自己是否“真懂”还是“假会”。从而做到同样题型问题能举一反三，不要犯同样错误。

例如：复习集合，作业本上一道选择题：设集合M ＝{x|y＝x+1}，N ＝{y|y ＝x2－ 1，x ∈R}， 则 N=M

基础差的的同学就容易做错，主要是集合概念没弄清楚，没有抓住集合中元素（对象）是什么。要求做错的同学寻找类似“错点”题目，学生可以各显神通，可以寻找教辅书，可以选求同学帮助，可以求助手机和电脑，利用百度、菁优网，猿题库，作业100 分等搜索。有些是形式类似，但是本质不一样，这还需要学生进行鉴别，在鉴别过程中就是再次学习，主动学习，举一反三。让学生明白题目做不完，光刷题不行，必须学会举一反三。

3.2 “涉水”：半开放式编题，让学生在章节复习课激活思维兴奋点

在章节知识点回顾梳理时可以采用半开放式编题模式进行。开始阶段主要由老师带领同学初步接触编题，尝试体验，初步开始“涉水”编题。这个阶段编题教学具体做法主要步骤：

（1）为了追求课堂效率和容量，编拟题目作为任务应该尽可能安排在课前，如果学生的学习能力相对差的班级，也可以采用合作模式。

（2）为了避免学生编的题目缺乏科学性与可行性，价值不大，往往采用半开放式编题。做任何事情都需要时间，是一个不断学习不断成长的渐进过程，所以半开放式编题我们可以首先尝试选择给定条件或结论选项的选择性编题（此类题目就是结构不良类型题目，学生在编题中选择教师给定的条件，如 [案例1]）.然后逐渐过渡到补全式编题（在编题中学生要自我去补全条件，如 [案例2]），每次布置任务要求学生必须完成给定数目，不能随意编题，必须要保证本章节的重要知识点、典型例题、公式都包括进去。）

（3）上课请一位同学展示自己编的题目，自己回答相应公式和解题思路，若答不出来，可以安排别的同学回答。

3.3 前期：选择型半开放式编题，让不同学生都能尝试

在前期刚刚组织学生半开放式编题时，由于学生经验或能力不够时，可以让学生“试一试”选择型半开放性编题。选择型半开放性编题指的是教师对所编的题目提供多种条件（或结论），学生在给定的条件（或结论）选择部分条件（或结论）进行组合，编成一道新题，并验证此题的正确性和可行性。如 [案例1]。

[案例1]比如复习函数的性质时，笔者课前安排如下一道编题。已知函数f(x)，当0＜x＜1 时,f(x)=ex,且满足：(空格中选择2个条件)，求f(4)+f(5)的值

(A)f(x)是奇函数；(B)f(x)为偶函数；(C)f(x-1)=f(x+1)；(D)f(1-x)=f(x+1)；（E）f(1-x)=-f(x+1)；（F）

课堂上请学生展示自己的组合并请其它同学写出相应的解题过程或思路然后讲评。每个学生时刻带着思考。

（1）选择1 个选项条件是否可以？(2)一共有几种不同选项组合？

（3）一共有几种选项组合是科学的？（4）不科学的选项组合需要怎样完善修改就可以了？

在以上的选择偏题环节中，有些学生给出的组合条件会存在问题，这时要抓住时机给学生时间弄清楚该种组合之所以不能成立的原因.为了课堂的紧凑性，可以先小组讨论，列出一些存在问题的，然后一起分析，一起探讨。

学生是独立个体，水平肯定有差异，过程要鼓励每一位学生思考，尊重每一个学生的想法，让每个学生感觉自己也是一个成功出题者。这样做会尽可能让每个学生都参与进来，不做看客或听客，让每个学生充分展示自己的思维过程和品质，让老师尽可能感知到每个学生学习水平。

3.4 中前期：补全型半开放式编题，让每个学生优化认知过程

中前期教师可以采用补全型开放式编题，让学生“涉水”，体验自主性编题，初步感受乐趣。补全型半开放式编题指的是老师给定的开放题中的条件或结论空缺，学生凭自己能力和知识储存量进行补全。在知识点多回顾梳理课堂上应用效果比较好。

对于数学复习课，常见章节复习常见如下相对固定的模式。1．知识梳理2.基础回顾3.典型例题4.课堂测试。这种教学过程中存在的最大问题是：首先知识梳理基础回顾环节学生往往翻书查阅相关概念，导学案上的填空给它填满，一切都比较机械化，这种做法往往强调知识层面的记忆、回顾和掌握，典例讲解往往是老师的表演，学生机械模仿。上述的做法往往让学生自己去发掘知识很少很浅，相对被动，主动去应用知识也更少。为了有所改变，笔者在知识点比较的章节复习课中采用补全型半开始式编题。

[案例2]在解析几何《直线方程》这一大章的复习时，公式和概念多，若老师课堂现场回顾整理再举几个典例，学生会觉得乏味，参与不不高。于是笔者就安排了一个条件补全开放式问题，此问题上课前就给学生，上课时请某一位学生添条件。

问题：“己知直线L 经过点A(-1,3)，(再加另一个条件).求该直线L 的方程.”要求同学写出至少10 个不同条件，保证所有公式、典型例题都包括进去。并按照课本的知识设置秩序填写。

课堂某学生添加以下条件：

（1） 倾 斜 角 是 直 线x+y+1=0 的倾斜角的一半；（2）与y-2x+1=0 垂直；（3）与y-2x+1=0 平行； （4）在x 轴上与y 轴上的截距相反；（5）原点在该直线上的射影是A 点； （6）原点到该直线的距离为1；（7）与点(2,3)距离最远； （8）与x2+y2=r2 相切；（9）与x2+y2=4 相交，被截的弦长为1； （10）在坐标轴上截距之积为12；（11）在坐标轴上截距之和最大的直线； ………

其它学生随时回答相应公式和解题思路。

一道开放性编题打尽直线章节的所有知识点和公式，节约时间，提高课堂教学有效性。

从上例中我们发现学生在构建问题的过程，学生已有的知识需要不断整理消化重组，思维也需要不断得到训练和优化。还有这样的编题让学生提高解题能力和效率。还有该章节概念多，难度不大，关键是熟悉，因此这样操作，不是做死题，死做题，不是机械地套用所学的知识，是让学生在思考中对概念知识点不断整理，有助于学生知识的巩固和理解。这需要学生创造性行为，需要一定的思维品质，在过程中容易激发学生兴奋点和参与度。

3.4.1 “下水”：典例改编题,让学生在习题讲评课吃透错难点

高考中考复习中后期主要是习题讲评课，因此组织学生开展典例改编题。这个阶段学生已经有一定的编题经验和技能，大胆让学生各显神通，需要学生扎入水中尽心尽力往前“游泳”，也就是所谓的“下水阶段”。

典例改编题主要采用一题多变改编题和模型改编题。笔者组织学生进行典例改编题往往采用以下步骤：

（1）学生根据老师要求改编题的母题（典例、习题讲评课学生问题比较多的题目）的标准答案进行自主学习，然后编拟1-2 道题，并思考解题思路。学生改编题可以采用以下一些方法，如基本量变化法、归纳总结法、对比类比法、具体演绎法、变换条件法、逆向推导法、模型套路法等。

（2）在课堂上展示学生的改题，根据学生的展示情况，课堂上教师和学生可能会在在学生改题原有的基础上不断推进，一起参与改编。当然这要求教师有充分的准备，编题中个别题目的可行性可以让学生课后验证。

（3）教师和学生挑选其中最具有典型性或一般性的改编题进行验证展示。

3.5 中后期：一题多变改编题,让学生突破解题思维障碍

一题多变改编题主要指采用类比对比改变题干条件局部中一些数量数值或特征，或者对条件结论互换，或者采用类比进行引申修改，主要体现一题多变，但是核心概念不变，解题的关键不变，突破思维障碍点不变。

[案例3]笔者在一次数学学考模拟考试卷讲评课中，试卷的第24 小题学生完成都非常差。该题第2 小问如下：抛物线方程为y2＝4x，过点C(1，2)作两条直线交该抛物线于点A，B,设AC，BC 所在直线的斜率分别为k1，k2,当k1，k2变化且满足k1，k2＝－1 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．

为了让学生做解析几何大题有信心，不要轻易放弃，对这道题让学生看了标准答案后进行编题。学生主要进行如下编题：

（1）把k1＋k2＝-1中的-1改成其它定值，如k1＋k2＝-2 或0或1等，改变条件局部数值；

（2）把k1＋k2＝-1 中“和” 变成“积”，如改成k1k2＝-1或1或-2等定值；

（3）利用倒置方式互换原题结论与条件，如改成：若直线AB 恒过定点(5，－6)），判断k1＋k2是否为定值；若不是定值，请说明理由；

上课时重点讲评（4），首先验证k1+k2=-1 行不行，若不行可以让学生思考k1+k2=？题目才改题成功。

课堂上用这道题的可行性验证，让学生吃透此类题的条件与结论之间的密切关系，吃透解题的核心步骤和思路。

学生在数学复习中，每天都会面对错题和难题，若我们老师根据教学整体情况合理要求学生对错题难题做出相应改题、编题、讲题，且在编题过程让学生不断反思错题，让学生主动分析了解本题考查的知识点是哪些？核心概念是哪个？关键语句是哪些?求解思路或解题策略是什么?学生可能犯什么错误?有几种不同解法?等等。编题过程引导学生学会类比对比、归纳总结、优化解题过程等。引导学生回忆梳理重识补充有关知识，加深理解，明晰知识间联系，完善重构知识结构，抓住重点，破解难点，排除障碍，实现懂而做对，这样的训练当然会让学生的能力得以生成，课堂教学的有效性也提高了。

3.5.1 中后期：模型（类型）改编题,让学生学会多题共解同解

模型（类型）改编题，主要按照一种模型（类型）题，让学生采用类比演绎出多变，但最终多题一解或共解。笔者借 [案例4]来说一说。

[案例4]笔者在一次习题作业中有这么一道题：已知数列{an}中，a1=1，an+1＝2an+3n，求an．因为学生掌握累加累乘等几种类型，这道题许多学生完成的情况比较差。在讲评这道题之前我要求学生进行横线的递推式多变，要求学生把此道题进行修改：至少改成5 种考试可能考的题目，并能否找出共性解法，学生对递推式an+1＝f(n)an+g(n)主要的改题集中如下：

（1）a n+1 ＝an+3 （2）a n+1 ＝an+3n（3）a n+1+an ＝2n （4）a n+1 ＝an·3（5）a n+1 ＝an·3n （6）a n+1·an ＝3n（7）a n+1 ＝2an+3， （8）a n+1 ＝an+3n，……

虽然上例学生编题形式上似乎是失控的，但实质是在在教师的掌控下，学生复习了常见的递推公式。但是真正的掌控力不是仅记住模型，而是跳出模型掌握解题共性——抓住问题本质，抓住核心方法。水平好的模型化比较清晰。但是最后叫学生当n=1，2,3，……n,写出对应的等式。最后请学生观察，发现求an就是解n 元方程组。可以采用同一种方法，采用迭代法。编题者比解题者思考的角度更多，学生编题的过程就是深人研究解题的过程，是探究过程。

3.5.2 “击水”：自由编拟题卷，让学生在测试检验中感知出题的荣观感

这个阶段学生编题组卷犹如让学生在题海中“击水”，发挥自己的智慧，科学面对解题这个大海，跃出题海，搏击题海。

3.6 后期：自创编拟题卷，让学生猜题共测收获

自由编拟题卷是学生根据教师要求的章节内容和考试要求自由出题，也可以针对各联考模拟考题模仿出题，主要是促使学生主动弄懂章节知识体系，考试大纲。同时学生编的符合要求的题目采纳作为章节测试卷中题目，让学生有出题者的荣光感。

自由编拟题卷主要也分为三种水平。第一层次：模仿式编拟题，对经典试卷类型风格进行模仿。第二层次：改题式编拟题，对典例与习题进行改编。第三层次：创造性编拟题，主要针对临近高考为了让学生静心，开展高考猜题式编题。

具体做法如下：

（1）准备阶段。老师在活动之前介绍命题卷的形式、范围、目的，题目的难度系数等。前几次可以提供一些样卷，提供试卷题目明细表，最好让学生根据自己水平认领“几个题”进行编题，也可以紧扣近几年试题题型和对应的考纲，要求学生以近期学过的章节内容为主，自己命制出几道题（不要整套，学生负担重，题多思考就少，学生就容易到课外抄题）。目的是让学生通过自己命题，熟悉考纲，对考纲中的“了解”、“理解”“掌握”“运用”有一定感知。为了让自己的题被选上，学生在命题之前必须先弄懂所学章节的知识体系.把握好重、难点。

（2）选题、组题和测试。由学习小组讨论推荐交给数学老师后，老师从学生推荐的命题中择优选取部分符合要求的题目，融于平时的章节测试卷中.被选中的题目在题目前面标上那位学生姓名，表示该题由该为学生出题。测试后讲评试题时，可以让被选用的出题者讲评自己命制的题目。组题时尽可能兼顾不同层次的学生，对被采用的题目教师要给与学生正向的评价：如试题考点准确、难度适中符合考纲要求、题型新颖、重难点突出等等，要给与表扬或奖励或加分，让学生有荣光感，增加出题欲望。

4 实际效果

4.1 编题调动学生学习主动性

学生编题过人人都可以参与，后进生不至于成为“看客”或“路人”，优生也能大展手脚，各自都有不同参与和收获，都有不同程度的成功体验，使全体学生都得到不同程度的提高，使培优辅差落到实处。自主编题会引导学生自主学习、主动探究问题的成因，增强学习动力。特别是学生所编题就是学生的作品，若在课堂呈现，让其他学生赏题，或者由其他师生来解题答题，最后让出题者来讲评，将会让出题者的自豪感爆棚。在自豪感欲望刺激下，主动编题的学生会增多，个体编题自主性和参与度也会增强很多。由于编题过程就是一种学习过程，所以学习的积极性相应调动提高，也体验到数学学习乐趣。

4.2 编题促进学生知识理解

学生编题过程就是让题目呈现丰富性、多变性，让学生感知多样变化，如一题多解，多题一解，一题多变等等。而且逐渐让学生从万变中抓住不变的，不离其宗，进而促进学生对知识的理解。学生编题在教师引导下围绕知识点、题型特征、考纲要求和考试标准积极参与，不断探究，这个过程促使学生整理知识点，充分理解知识内容，掌握与问题相关的知识点，完善知识结构，提升知识应用意识。

4.3 编题提升学生学习能力

很多学生怕数学，往往采用死记、模仿、刷题。学生的编题过程是一个探索、研究、选择、创新的多环节渐进提升过程，编题时需要考虑涉及的知识、思想方法，考虑是否符合课标要求，完毕后学生还要检验所编的题目是否可行，是否科学，数学语言是否规范。这个过程学生需要有多样思维和语言组织能力，无形中逐渐提高了学生的对比、类比、归纳、理解、演绎、抽象、联想、分析、综合等各种能力。

5 思考与展望

学生编题在数学教学中不是全部，这种方式必须适度适量适合，必须找准节点，但是肯定有开阔的尝试空间，教师必须要抓好编题的有效性和学生的自主性两点，要有效地调动全体学生编题的参与度和投入深度。总之任何事情总会物极必反，所以教师必须有一定的掌控力。