由“提水桶”问题到突破滑轮组机械效率的计算问题

曹可攀

(晒湖中学，湖北 武汉 430064)

在学习人教版8年级下册第12章“机械效率”时，有这样一道关于有用功和额外功概念理解的题目——“用水桶从井中提水的时候，提____所做的功是有用功，提____所做的功是额外功”.这道题经常出现在课堂教师的举例和课后习题当中.通过分析不难得出，题目中用水桶提水，人的目的是需要水，所以对水做的功就是有用功，而在提水过程中，对桶做的功是不得不多做的功就是额外功.学生很轻易就能接受和理解有用功和额外功，再加上对这道题进行改编成“要把水桶从井中捞起来的时候，提____所做的功是有用功，提____所做的功是额外功”.通过这样巩固训练，学生对有用功和额外功的学习更加印象深刻.但是现在又出现了另外一种观点，觉得这道题有争议，用水桶提水，如果我只要半桶水，那对半桶水以外的水做的功是不是也是额外功呢？

对于有用功和额外功的概念我们先来看看在初中物理教材中是如何定义的.教材中是通过两个实验进行对比：一个直接用弹簧测力计提升钩码，并一个用动滑轮提升钩码，接着分析得出，无论是否使用滑轮，钩码都被提升了，对钩码做的功是需要做的，叫做有用功.用滑轮组提升钩码时，我们还不得不克服动滑轮本身所受的重力以及摩擦力等因素的影响而多做一些功，这部分功叫做额外功.对于教材中有用功和额外功都是描述性的定义，这主要是从机械的角度，有用功和额外功就相对固定，而对于提水桶的问题主要是从人的角度来定义，所以就容易变化，所以提水桶的问题重在理解有用功和额外功的区别，而不应该纠结于需要多少水的问题.

有用功和额外功的区分直接关系到机械效率的计算，滑轮组机械效率为人教版8年级下册第12章“机械效率”的重要内容，如果不能正确理解机械做功当中的有用功和额外功，应该从机械的角度去分析，那么对于机械效率的计算就会出现问题，下面以武汉市一道9年级调考题为例.

例1.玻璃装运车间常用“低压吸盘吊车”吊运玻璃.如图1(甲)所示，先将6个吸盘压在玻璃上，然后启动抽气机使吸盘内的气压减小，在大气压作用下将玻璃“吸住”，再通过电动机牵引滑轮组上的绳子就可以将玻璃吊起.图1(乙)为“低压吸盘吊车”结构示意图.

图1 低压吸盘吊车

在某次吊装过程中，若“低压吸盘吊车”在10 s内将一块质量为90 kg的玻璃缓慢吊起，假设6只吸盘及支架的总质量为45 kg，每个滑轮的质量为15 kg，不计抽气管和绳重，不计绳子与滑轮的摩擦，在上述吊装过程中，吊车上的滑轮组的机械效率为____________.

解析： 当这道题出来之后，产生了两种不同意见的答案.答案1：假设玻璃提高的高度为h，玻璃的重量为：G物=mg=90 kg×10 N/kg=900 N，滑轮组做的有用功为W有用=G物h=90 kg×10 N/kg×h=900 N×h，吸盘、支架和动滑轮的总重为G′=mg=(45 kg+15 kg)×10 N/kg=600 N，滑轮组做的额外功为W额=G′h=600 N×h，滑轮组做的总功为W总=W有用+W额，滑轮组的机械效率为η=W有用/W总×100%=W有用/(W有用+W额)×100%=900 N×h/(600 N×h+900 N×h)×100%=60%．答案2：假设玻璃提高的高度为h，动滑轮下端绳子作用于支架向上的拉力为F=G=mg=(45 kg+90 kg)×10 N/kg=1350 N，滑轮组做的有用功为W有用=Fh= 1350 N×h，滑轮组做的额外功为W额=G′h=15 kg×10 N/kg×h=150 N×h，滑轮组做的总功为W总=W有用+W额，滑轮组的机械效率为η=W有用/W总×100%=W有用/(W有用+W额)×100%=1350 N×h/(1350 N×h+150 N×h)×100%=90%．

很明显，第一种答案的观点就是建立在以人的角度基础之上的机械效率，使用低压吸盘吊车的目的就是吊运玻璃，所以对玻璃做的功就是有用功，除此之外都是额外功，所以通过分析计算得到该滑轮组的机械效率为60%.第二种答案的观点就是从机械的角度去分析问题，对于滑轮组而言，滑轮组对外做的功(动滑轮下端绳子作用于支架向上的拉力做的功)就是有用功，这就应该包含了对吸盘、支架以及玻璃做的功，滑轮组的有用功就应该是滑轮对外的输出功，与人的目的无关，通过计算得到滑轮组的机械效率为90%.武汉市教科院物理教研室给出的参考答案就是第2种观点.

滑轮组机械效率的计算问题难点就在有用功的计算，而有用功的判断必须坚持以“滑轮”为中心.长期以来，很多教师都已习惯性的教学生公式W有用=G物h去计算滑轮的有用功，包括很多物理参考资料也都用这个公式.其实这个公式完整的表达式应该是W有用=F动s=G物h，其中F动表示动滑轮下端绳子的作用力，s表示动滑轮下端绳子移动的距离.当匀速拉动滑轮时就有F动等于G物，又因为s等于h，才会有公式W有用=G物h成立.正是因为好多教师和学生没有真正理解这个公式的涵义，片面的认为计算有用功就应该用W有用=G物h，这才导致在例1中出现了第一种答案.

图2

为了更好的理解滑轮组机械效率的计算问题，建议W有用=G物h这个公式要少用，动滑轮下端绳子的作用力所做的功实际上可以理解成滑轮组对外做的功，这个输出功就是有用功.这样更符合滑轮组的特点，有用功的公式应该直接用W有用=F动s.这样对于不同情况的滑轮组都能进行计算与应用.下面以滑轮组提升水中的物体和水平滑轮组为例进行分析.

例2.用如图2所示的滑轮组从水中提升物体A，物体A完全在水面下匀速竖直上升的过程中，卷扬机在绳子自由端竖直向下的拉力为F，滑轮组的机械效率为η.已知F=400 N，η=80%，物体A的体积V=9 dm3，g取10 N/kg，绳重、轮与轴的摩擦及水的阻力均忽略不计.求：物体A所受的重力GA.

解析： 在本题中机械效率η是已知的，如果认为有用功就是W有用=G物h=GAh，根据W总=Fs,s=2h,W有用=W总η等公式算出W有用=640 N×h,最后求得GA=640 N，而这个答案却是错误的.如果利用有用功W有用=F动s，通过受力分析可知F动=GA-F浮(F浮表示物体A受到的浮力)，所以W有用=F动s=(GA-F浮)s.先求出F浮，再通过以上相同步骤的计算可以得出正确的答案GA=730 N.用W有用=F动s计算滑轮组的有用功就能避免这种错误，而且当碰到水平滑轮组的时候，W有用=G物h这样的公式根本就用不了.

图3

例3.如图3所示，利用轻质滑轮组匀速拉动水平地面上重为G=300 N的物体，若拉力的大小为F=30 N，A点的拉力为FA=24 N，则下列滑轮组的物体和地面之间的摩擦力大小f及机械效率η分别是多少？

该题中，水平滑轮组匀速拉动物体，所以有f=FA=24 N，而计算有用功W有用=F动s=FAsA，又因为W总=Fs，s=2sA，代入η=W有用/W总×100%,计算可得η=40%.

综上所述，对于公式的应用，特别是对一些推导公式的应用，一定要弄清楚推导公式的原公式，这样才能真正理解公式的物理涵义，才能保证碰到各种各样的物理情景都能准确分析判断.滑轮组机械效率的计算问题重难点是有用功的计算，而对于简单机械有用功的理解应该从“机械”的角度出发，机械对外输出的功对于机械而言就是有用功，所以在滑轮组机械效率的问题上，选择有用功的计算公式W有用=F动s，更能体现机械效率的涵义，也更具有普遍性.