布鲁姆教育目标分类理论与初中数学教学设计——以“平方差公式”一课的教学实践与反思为例

中国科学院附属实验学校 张 萍 北京市第十七中学 白雪峰

在数学教育中，一直困扰教育者的最常见也是存在最长久的四大基本问题：学生在宝贵的学习生活中，在有限的学习和课堂教学时间内，哪些内容是最值得学生学习的？这实际上就是学习内容的问题，也可以说是学什么或教什么的问题；如何计划和进行教学才能使大部分学生在高层次上进行学习？这也就是教学问题的问题，或者说是怎么学或怎么教的问题；如何选择或设计测评工具和测评程序才能提供学生学习情况的精准信息？这实际上就是测评问题，或者说是怎么考的问题；如何确保教学目标、教学过程以及测评三者彼此的一致性？这也就是一致性问题，或者说是教学的有效性的问题。应该说，布鲁姆教育目标分类理论至今依然是能较好回答上述问题的成熟理论之一，因此，基于布鲁姆教育目标分类理论进行教学设计是提高教学质量、促进教师专业发展的有力工具。

一、布鲁姆教育目标分类学的理论基础

教育目标分类理论源自泰勒在美国“八年研究”中的评价工作，美国著名心理学家、教育家本杰明·布鲁姆（Benjamin Bloom，1913—1999）发展其思想，形成了完备的教育目标分类理论。布鲁姆将教育目标分为认知、情感、动作技能3 个领域，又将认知领域分为知识、领会、运用、分析、综合、评价6 个大类。2001 年，根据美国教育发展及评价需要，著名课程专家安德森与克拉思沃尔等联合对布鲁姆教育目标分类学进行修订，提出新的目标分类理论和体系。该体系根据与教育目标相关性，将知识分为事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识四大类型，并根据人的认知过程和规律，将认知过程分为记忆/回忆、理解、应用、分析、评价和创造六个维度。其中，分析、评价和创造属于发展学生高阶思维的重要关注点。基于布鲁姆分类表进行教学设计，能够更加有针对性地进行教学与测评，有助于教师回答上述四大基本教学问题，同时，促进教师根据教学目标、测评和教学活动的一致性进行教学自我诊断，以更加全面地理解教学目标，有的放矢地培养学生的高阶思维。

在已有研究中，大多关注学生新知习得水平的应用。然而，任何知识在其形成与应用过程中，都鲜有独立发挥作用的情形，而总是与其他知识综合在一起，有时，其他知识类型及其认知水平会对新知学习产生重要影响。本文拟以人教版八年级上册第14章第2 节平方差公式第1 课时为例，基于布鲁姆教育目标分类理论的指导，进行教学设计与实践反思，期待与同行进一步探讨和改进。

二、平方差公式的课时目标及其分析

教学目标的科学制定和清晰表述是教师的重要的教学基本功之一，其内容主要反映学生学习后的变化情况，并且要观察和测量这种变化。因此，教学目标必须明确而具体。同时，教学评价设计要先于教学设计，为每一条教学目标设计相应的评价试题，以确保教学目标的制定达到导教、导学和导测评的作用。

(一)平方差公式的课时目标

《义务教育阶段数学课程标准(2011 年版)》(以下简称《课标（2011版）》指出：“通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”同时，《课标(2011 版)》提出了包括符号意识、几何直观、运算能力、推理能力和模型思想等在内的十个“核心词”，要求“把数学文化融入课程内容之中”，这些内容对于发展学生的数学核心素养具有重要作用。

“平方差公式”是初中数学“整式与分式”部分的核心内容，作为学生初中阶段最先接触的重要的乘法公式之一，它既是特殊的多项式乘法，又是反映从特殊到一般认知规律的典型范例，更是对一般多项式乘法的应用、拓展和再创造。《课标(2011 版)》中明确规定：能推导乘法公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

一方面，从乘法公式的历史溯源可以看出：平方差公式的产生动因是源于一类二元问题、直角三角形问题和等周长方形问题的求解以及平方运算。在16 世纪符号代数诞生之前，古人是运用几何形式来表征公式的。另一方面，从教材编写的逻辑来看，本节课是在学生已经学习了整式的加、减、乘、除运算，掌握了单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等整式计算之后的学习内容，同时本节课的学习对学生学习因式分解、分式运算以及其他代数式的变形也具有非常重要的作用。

综上所述，本节课的学习重点是对具有“特殊结构特征”的算式的归纳总结、概括提炼和应用理解，渗透并强化整体思想，建立数学的结构意识。基于教学实践可以发现，由于学生已有多项式乘法的学习基础，所以仅从知识层面来讲，本部分内容的难度并不大。学习“平方差公式”的重要意义主要体现在“特殊与一般”之间的归纳与演绎的推理思维方法的认识、理解和内化，是学生进行学习迁移以及构建高阶思维的重要载体。

基于以上分析，我确定本节课的总体教学目标是促进学生学习乘法公式的迁移能力的提高，具体课时目标制定如下：

第一，能够用自己的语言说出平方差公式的几何背景和文化背景，能够基于历史上的等周问题认识到平方差公式的必要性、简洁性和便捷性；能够阐释平方差公式的结构特征及各个字母的意义，强化符号意识；

第二，能够探索证明平方差公式的方法，并能运用平方差公式进行直接计算，初步进行平方差公式与加法、乘法的混合运算，提高数学计算和推理能力；

第三，体会从特殊到一般、从具体到抽象的探索问题的基本思维方法，感受数形结合的思想方法以及知识之间的联系和公式实际价值。

（二）平方差公式的知识目标分析

下面，我依据布鲁姆教育目标分类理论提出的4 种知识类型和6 个认知层次水平将上述目标进行编码，可以形成以下分类表达：

目标1——理解事实性知识目标：理解平方差公式几何背景和文化背景、公式命名的合理性、平方差公式和公式结构特征之间的关系（1—0），评价公式的简洁性和便捷性（1—1）；

目标2——分析概念性知识目标：经历平方差公式探索和推导过程，分析代数与几何之间的关系，进而得出公式的几何解释（2—0）；

目标3——应用程序性知识目标：根据题目特点，应用、选择、评价和构造平方差公式进行直接计算、混合运算等（3—0/1/2/3）；

目标4——分析、评价、创造元认知知识目标：经历平方差公式的得出与应用，体会从一般到特殊、从具体到抽象的探索问题的方法和数形结合的思想，发展符号意识和推理能力，感受知识之间的联系和公式实际价值，获得成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心（4—0/1/2）。

上述各目标在分类表中对应位置如表1 所示。

表1 《平方差公式》一课教学目标在分类表中的位置

（三）平方差公式一课的教学过程设计

荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal，1905—1990）曾说过：“没有哪一种数学思想是以被发现的方式发表的。如果一个问题得到了解决，人们就会开发和运用技术，将解法颠倒过来……从而将火热的发明变成冰冷的美丽。”教师需要从学习者的角度去看公式教学，从知识发生、发展、生长的角度去看公式教学，通过恰当的引入将火热的发现在课堂上还原、再现。“平方差公式”一课属于典型的公式教学，公式教学一般可以分为三部分：即公式发现、验证、应用。

基于以上分析，本节课共设计了6 个教学活动，分别是：提出问题，确定对象；数形结合，突破难点；公式辨析，提升认知；应用强化，突出重点；拓展延伸，发展思维；总结提升，深化理解。

活动1 和活动2 主要聚焦公式的发现过程。我借助教材上的练习，让学生对一般二项多项式乘法逐步特殊化，猜想得到平方差公式和完全平方公式；在公式验证中，引导学生迁移之前的方法，从“数”和“形”两个角度对其中一个公式进行证明和验证。该环节既是对多项式乘法的进一步巩固应用，又是对利用几何验证公式的再发展，实现对旧知的从低阶思维到高阶思维水平的发展。

公式的几何解释既是本节教学难点，也是发展学生高阶思维的重要载体。到底是直接给出图形让学生由“图形解释公式”，还是让学生直接构造几何图形证明公式？提出问题的目标定位不同，需要学生思考完成的任务体验当然也不同，学生因此所获得的思维发展完全是不同的两个层级。为了发展学生的高阶认知思维，我选择了后者，也就是请学生基于对平方差公式结构特征的全面认识和深度分析，亲历通过几何图形构造进行公式证明（或解释）的全过程。

在本环节中，根据课堂上学生学习情况的反馈，可以看到：学生的认知难点确实是如何构造一个几何图形来解释公式的等号左右两边是相等的。因此，在本环节具体实施过程中，我结合不同班级的学情，将问题进行了解构，以此来突破教学难点：

问题1：请你分别构造两个几何图形，并用几何图形的面积表达平方差公式中等号左右两边的代数式；

问题2：请你进一步观察所构造的两个几何图形及其面积表达式，并用数学语言解释公式等号左右两边的代数式是相等的。

事实上，平方差公式的几何背景（几何解释）属于概念性知识，教师借助恰当的问题驱动学生进行深度思考和操作感知，以使学生的认知水平达到分析和创造的层级。在这一学习过程中，虽然利用的是代数式的几何图形解释这一旧知，但却是新知学习过程中旧知在认知水平的新发展，充分体现了知识之间的相互联系以及学生认知水平的螺旋上升过程。

在活动3 中，我设计了区别于以往教学中直接给出公式名称，明晰公式结构特征的一般教学活动，而是让学生尝试着给公式命名，同时，请学生相互评价公式命名的合理性，通过构造有深度的对话性问题使事实性知识达到分析、评价、创造的高阶认知水平。

活动4 主要聚焦公式的应用，强化学生对平方差公式的认识。我设计了4 组练习，由简单到复杂、由可用到不可用、由正用到逆用、由一般应用到巧妙应用，以使程序性知识最终达到分析、评价和创造的水平。

本节课中活动5 的拓展延伸，通过呈现贴近学生的情境引入，借助历史上的等周问题激活学生已有探究经验，通过数形结合发展学生高阶思维。而在活动6 的课堂小结活动中，我给出了一系列对话式和反思性的问题，以达到引导学生回顾学习过程，梳理平方差公式学习研究的一般路径，提炼基本活动经验的学习目标。同时，通过明确下一阶段的研究课题和思路，强调方法梳理迁移和知识之间的内在联系，以此引领学生将公式纳入整式乘法的知识体系，体悟知识之间的内在联系，达到整体把握学习内容的深层教学目标，旨在促进学生将所学的知识条理化和系统化，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学知识形成比较全面和系统的理解，最终完成对所学知识的意义建构以及研究方法、研究思路的再继承，实现元认知知识高阶水平的发展。

三、教育目标分类理论对于知识学习过程的意义

基于布鲁姆教育目标分类理论进行教学设计，能够帮助教师从学生学习的视角审视教学目标制定、表达和实现，促进教师更加透彻地理解学生的学习，认清知识与认知过程之间的内在关系。布鲁姆教育目标分类理论指导下的教学设计更加关注知识之间的联系：知识不是割裂的，不管是同一课时的知识还是整个单元整个学科的知识。任何知识在其形成与应用过程中，都鲜有独立发挥作用的情形，而总是与其他知识综合在一起，而且已有知识类型及其认知水平会对新知学习产生重要影响。同一知识在不同阶段所要求达到的认知层级是有差异的，是逐渐由低级走向高级，呈现螺旋上升的态势，而学生思维的发展亦是螺旋型向上的，从低层次向高层次不断发展。因此，学生高阶思维的形成和发展应以低阶思维为基础，同时，高阶思维反过来又促进和带动低阶思维由低水平向高水平发展。

基于布鲁姆教育目标分类理论进行教学设计，能够帮助教师正确判断知识类型，准确把握教学过程对于知识的认知要求。从而，更加有针对性地对目标进行教学活动设计和效果评测；为学生高阶思维的培养搭设阶梯，通过问题设计，教师引导学生走向认知的高阶，由被动地接受转化为主动的猜想、分析、评价、创造；同时为课堂教学方式的转变和学生学习方式的转变提供更多可能。教学各个环节设计突出元认知类知识，重在发展学生高阶思维。在“平方差公式”第一课课时的教学设计中，各环节突出发展学生高阶思维的问题举例 如下：

问题1：请你试着给这个公式取一个名字。你认为公式命名为“平方差公式”合理吗？为什么？——事实性知识达到分析、评价、创造水平。

问题2：你能从哪些角度验证这个式子？请你完成验证。——概念性知识（旧知）在新情境达到分析、创造水平。

问 题3：计 算102×98 和101× 97。——程序性知识达到分析、评价、创造水平。

问题4：请回顾本节课的学习过程，给你留下印象最深的内容或环节是什么？为什么？针对课前尚未探究的猜想，你打算如何探究？谈谈你的想法和经验。——元认知知识达到分析、评价、创造水平。

上述问题的设计意图就是希望在后续学习完全平方公式时，可以让学生自主设计研究方案，开展自主学习探究，以实现知识和方法的迁移，达到思维的高阶发展。

当然，基于布鲁姆教育目标分类理论进行教学设计，也存在着一些问题，如教材内容按知识类型分类时，有些知识与知识之间并未有严格而清晰的界限。然而，教学有法，而教无定法，因材施教，贵在得法。教师不能完全受限于分类表，而应该灵活变通，结合教与学的实际情况，基于新时代中学数学课堂教学变革与改进的新形势和新要求，更好地发挥布鲁姆教育目标分类理论实践指导价值。