多主壳投影后变分方法及其在psd模型空间的计算

图 雅, 满 园, 高早春

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034; 2. 中国原子能科学研究院, 北京 102413)

由于原子核是一个量子多体体系,因此求解其波函数及能谱一般通过解体系的薛定谔方程。传统壳模型[1]就是基于这种思想。但随着研究逐步向重核推广,其壳模型(shell model, SM)组态空间会急速增大,因此精确求解本征波函数的计算量急剧增大,计算将变得异常困难。为此,人们提出各种近似方法,如组态空间截断法[2],量子蒙特卡洛方法[3-4],以及VAMPIR(Variation After Mean-field Projection In Realistic model spaces)方法[5-6]等,以期得到很好的壳模型近似结果。VAMPIR方法曾被认为是最有前景的壳模型近似方法。但由于VAMPIR方法在计算上的复杂性,使其在实际计算中很难进一步开展。本文中的投影后变分方法(Variation After Projection,VAP)方法[7-11]克服了VAMPIR方法计算复杂的问题。一是在VAMPIR方法中,考虑角动量+质子数+中子数投影,需要5重积分,但我们的研究指出角动量投影是获得好的壳模型近似的关键。因此,可将积分改为3重积分。二是VAMPIR方法中对激发态的求解是逐个态进行的,而本文的方法是对要求的所有低激发态同时变分。这些改进都提升了计算效率。截至目前,投影后变分方法的模型空间还仅限于一个主大壳,这使得该理论方法应用范围十分有限。要想实现壳模型理论向重核推进,必须将模型空间扩展至多个主大壳。本文中将模型空间扩展至多个主大壳,力争实现全面描述原子核的各种低激发态。对于多主壳投影后变分方法,主要需要处理两大类问题。一是波函数中宇称发生混合,因此本文加入宇称投影,二是对于质心问题的处理,我们采用与标准壳模型一致的方法[12]。用改进后的VAP方法在psd模型空间中计算了12C、16O的低激发态能量。

1 VAP理论框架

如果进一步考虑将模型空间扩展至多个主大壳,HF真空态的空间反射对称性遭到破坏,宇称不再是好量子数。因此,在已有的VAP方法的基础上,进一步考虑宇称投影。选取一组(n个)HF真空态进行自旋和宇称投影。将投影后得到的投影基进行线性叠加,得到试探波函数为

其中,

事实上,fKi及能量EJ是通过求解如下Hill-Wheeler(HW)方程[14]

由于考虑多个主大壳,需要考虑质心问题。对于质心问题采用的方法是在原壳模型哈密顿量HSM上加一质心谐振子项[12],即采用与标准壳模型完全一致的办法。

2 计算结果与讨论

以定义在psd壳的哈密顿量PSDMK[15]为例开展VAP计算。计算中均已经考虑了质心修正并取式(9)中β=10,对12C的J≤4正负宇称态下的晕态能量(m=1)进行了计算,对于晕态能量的计算,采用最简单的情形即取n=1,计算结果如图1。可以看出VAP能量EVAP与壳模型能量ESM的值非常接近,但是仍然没有达到近似要求。通过进一步增加SD的个数来改变近似性,取n=5的结果如图2,可以看出新的VAP方法能够给出很好的壳模型近似解。

图1 采用1个Slater行列式计算的12C晕态能量与相应壳模型能量的对比。采用的相互作用为PSDM

图2 采用5个Slater行列式计算的12C晕态能量与相应壳模型能量的对比。采用的相互作用为PSDMK

对于非晕态能量的计算,以12C的J=0正宇称态下的非晕态能量为例进行了计算,取n=5,10以及m=5,计算结果如图3。可以看出VAP能量EVAP与壳模型能量ESM的值非常接近,获得壳模型近似结果很好。改进后的VAP方法不但对晕态能量而且对非晕态能量的计算都是有效的。

还可以从图中看出当n=10时,计算的VAP能量比n=5时计算的能量值更加接近壳模型精确解。因此,这也进一步说明了SD的取值越大,计算得到的解近似性越好。如果想要得到更加近似的壳模型精确解,可以通过进一步增加SD的取值,以得到想要的结果。

图3 采用5,10个Slater行列式计算的12C晕态和非晕态能量与相应壳模型能量的对比采用的相互作用为PSDMK

图4 采用n=5的16OVAP晕态能量与相应壳模型能量的比较。采用的相互作用为PSDMK

为了验证改进后的VAP方法运用的普遍性,又对16O原子核的晕态能量进行计算并与其相应的壳模型能量进行对比,J≤4的结果如图4,可以看出,计算出的VAP能量与壳模型能量仍然非常接近。这也进一步验证了改进后的VAP方法在psd模型空间计算的有效性。

3 结 语

本文在前面工作的基础上,将VAP方法进一步改进,考虑宇称投影,将模型空间进一步扩展至多个主大壳,实现了同一个核中正负宇称态的完整描述,说明改进后的VAP方法仍是有效的。基于此,将继续深入地研究VAP方法。希望将该方法向更重的核区推广,进一步解释更多的物理现象。如果能够在重核区取得比现有理论方法更加优化的原子核近似波函数,这将进一步改善核理论对重核区的微观定量描述,将从根本上推动核理论研究的进一步发展,同时也将有助于人们对原子核各种性质的更准确认识。随着研究的不断深入,未来的VAP方法研究将会更加复杂。但是,VAP方法也将会有用于解释更多有趣的物理现象,如质子和中子的对关联,形状共存等。