基于CVaR的次新股投资组合优化模型与实证分析

魏冰月

摘要：参数方法需要假定次新股服从具体的分布，导致次新股的风险存在误差，为了克服参数方法的缺点，提出核密度估计方法计算次新股的风险。建立基于CVaR核估计量的次新股投资组合优化模型，以准确计算次新股的风险。文章运用牛顿迭代算法设计其求解算法。通过实证分析表明，与参数方法相比核密度估计方法能够描述风险分布的尾部特征，给出更准确的估计结果，并发现次新股投资组合的CVaR核估计值随着概率水平的增加而不断减少。

关键词：核密度估计;CVaR;次新股;优化模型

由于股票发行机构对新股发行的检查更为严格，次新股的质量往往比较好，所以次新股很受投资者的欢迎。但由于次新股的上市时间一般不会超过1年，相对于金融市场中其它类型的股票，已有的历史数据往往比较少，本文试图基于次新股已有的历史数据，通过分析短期内风险的统计特征，计算短期内次新股的风险。

通常，基于参数方法去估计CVaR值。但由于参数方法往往需要假定风险的概率模型，且需要大量的历史数据才能保证估计的稳定性和可靠性，为了克服参数方法的缺点，一些学者提出了非参数核密度估计方法度量CVaR值，Gourieroux等首次介绍了CVaR的核密度估计，结果表明，核密度估计方法无需对金融数据进行分布假设。Scaliet首次将非参数核密度估计方法应用在CVaR及投资组合的风险度量中，以图示的形式讨论了只存在两只证券的情况下，证券组合头寸的变化情况。但Scaliet并没有找到精确的CVaR值及其组合头寸。在文献的基础上，本文进一步研究如何基于CVaR做风险投资组合优化研究。本文预选取了2019年1月1日至2019年5月1日的次新股日收盘价数据做实证分析，并与参数方法下次新股风险进行比较，验证核密度估计方法的准确性及建立优化模型的有效性。

一、基于指数核函数的次新股CVaR相关核估计

（一）单只次新股的CVaR核估计

假设{l}是某次新股在T期的股票收盘价，ct=log（lt/lt-1）是第t期的对数收益，{c}是相依严平稳的时间序列。记Xt=-ct是第t期的对数损失，Xt的边际分布函数为F（·），边际密度函数为f（·），生存函数为S（·）。记Xt的边际分布函数的核估计为云赞（·），边际密度函数的核估计为枣赞（·），生存函数的核估计为杂赞（·）。在给定概率水平p时，记Xt的VaR为Vp，其数学表达式：Vp=inf{Vp：F（Xt）≥1-p}。记Xt的CVaR为Up，其数学表达式为：Up=E[Xt|Xt>Vp]。

由于次新股的上市时间较短，可获取相关次新股数据相对较少，基于非参数核密度估计方法对Xt的CVaR进行估计。当窗宽确定时，核函数的选取对核密度估计的影响不大，记Xt的边际密度函数f（x）的核估计为枣赞（x），其表达式为：枣赞（x）=K

其中：K（·）为核函数。记Xt的VaR核估计量为灾赞p，CVaR的核估计量为哉赞p，核密度估计分两步计算。

第一步先估计Xt的VaR核估计灾赞p，窗宽h由拇指法则确定，其表达式为：h=1.06T-0.2其中：σ2为单只次新股对数损失数据的方差;X单只次新股对数损失数据矩阵的转置，当杂赞（x）=p时可得Xt的VaR核估计值灾赞p。第二步由Xt的CVaR的定义可知核估计表达式为：哉赞p=K（t）dt

（二）次新股投资组合的CVaR核估计

假设次新股之间的交易忽略中间成本，市场具有抵御下跌风险的能力，n只次新股之间相互独立。令第只股票的收益率为bi，b=（b1，b2，…，bn）′为n只次新股的样本矩阵，投资者的财富标准化为1，记w=（w1，w2，…，w）′为投资者所持有的组合头寸，组合头寸满足wi=1，则次新股投资组合的收益率为Bw=w′b。记n只次新股在T期内的收益率为{b}其中bt=（b1t，b2t，…，bnt）′，则次新股投资组合的均值矩阵b=bt，次新股投资组合的协方差阵∑表达式为：∑=（bt-b）（bt-b）′。次新股投资组合在T期内的收益为：{Bwt}，其中：Bwt=w′b。

当概率水平为p时，记次新股组合的风险价值为V（w，p），记次新股组合的条件风险价值为U（w，p），其数学表达式为：U（w，p）=E[-w′b|-w′b≥V（w，p）]。次新股组合的窗宽h由拇指法则确定，                           h=1.06×T-0.2×

定義1：[（τ1，τ2）;τ3]=τ1K

，

定义2：陨赞（ξ）=[bt，w′bt）;u]du，

次新股投资组合CVaR的核估计值分两步计算。第一步计算次新股组合VaR的核估计，记次新股组合的VaR核估计为灾赞（w，p），通过[1，w′bt）;u]du=p可得灾赞（w，p）。第二步计算次新股投资组合的CVaR核估计哉赞（w，p），由文献[11]可知是条件期望E[b|w′b<-V（w，p）]的核估计，因此哉赞（w，p）的核估计可以通过哉赞（w，p）=陨赞（灾赞（w，p））计算。

二、次新股投资组合CVaR核估计的风险优化

（一）建立次新股投资组合的最小风险组合优化模型

根据建立的非参数核估计方法计算次新股组合的CVaR的哉赞（w，p），建立基于CVaR核估计的次新股投资组合优化模型A1：

min哉赞（w，p）=-w′陨赞（灾赞（w，p））/p

s.t.  w′D=1，

0≤wi≤1，i=1，2，…，n

其中，D=（1，1，…，1）′1×n，对模型A1求解可得次新股投资组合的最小CVaR核估计值及对应的组合头寸，对模型A1分析可得下面的引理。

（二）次新股组合的风险优化模型求解

显然问题A1是凸优化问题，因此本文通过设计牛顿迭代算法对次新股组合优化问题求解。

通过构造Lagrange函数L（w，λ）=哉赞（w，p）+λ（w′E-1）求解哉赞（w，p）。哉赞（w，p）存在最优解的必要条件是：首先满足函数L（w，λ）的一阶导数F′为0，其次二阶导数矩阵H可逆，其中一阶导数F′的计算公式如下：

F

=

F

=

H是函数L（w，λ）的Hession，其计算公式如下

Fww=

=

Fwλ=

=D;Fλw=

=D′;Fλλ=

=0

牛顿迭代算法的求解步骤如下：

1.记W=（w，λ），给定初值W=（w0，λ0）和一个正数ε，取迭代变量为k。

2.将给定初值w0，将次新股组合的协方差阵代入可得hk与灾赞（wk，p）。由灾赞（wk，p）和hk可得哉赞（wk，p），同时计算F′和H;如果||F||<ε，停止迭代，输出Wk;否则计算H-1，如果H-1不存在则迭代失败，如果H-1存在则转入步骤c）。

3.计算Wk+1=Wk-H-1F′，如果||Wk+1-Wk||<ε则停止迭代，否则k=k+1， 返回步骤b）。

三、實证分析

（一）单只次新股的CVaR核估计实证分析

参数方法通常假设次新股的日收盘价数据服从正态分布，由文献可知，正态分布下CVaR估计为Up=-μ+σ?（zp）/p，其中：μ为次新股的均值，σ为次新股的标准差，?（·）为标准正态分布下的密度函数，zp为标准正态分布下p的分位数。基于不同方法及概率水平下的CVaR值见表1。

由表1可得，在相同的概率损失下，基于参数方法计算的次新股CVaR值均大于核估计方法下的CVaR值。随着概率水平的增加次新股各自的CVaR值变化逐渐减少。基于参数方法下，随着概率水平的增加，四只次新股的CVaR值在不断变小。比较核估计方法与参数方法可以发现，参数方法低估了短期内次新股的风险，从两只次新股的日收盘价直方图可以看出，假定两只次新股的日收盘价数据服从正态分布是不准确的，因而会导致计算误差。核密度估计是从数据本身出发对次新股的风险进行估计，避免了假定具体分布而导致的误差，从核密度拟合曲线可以看出，核估计方法计算的风险价值更接近真实值，从而提高了计算的准确性。

（二）次新股组合的最小CVaR及其组合头寸实证分析

本文选取了四川天邑（300504）、新疆交建（002941）、光弘科技（300735）、天奥电子（002935）的2019年1月1日至2019年5月1日的日收收盘价数据，通过Python编程计算不同概率水平下的组合头寸及CVaR值见表2。

由表2可得，不同概率水平下的四只股票的组合头寸和对应的最小CVaR值;组合CVaR值随着概率水平的增加不断变大。在概率水平为1%时，短期内四只次新股投资组合的风险核估计值为1.9065，小于单只次新股的风险。短期内四只次新股投资组合的最小CVaR值为1.7332，取得最小风险时的组合头寸为w=（0.1945，0.3686，0.3793，0.0576）′。对比表1可以发现在概率水平小于或等于5%时，次新股投资组合最小CVaR核估计值小于单只股票CVaR核估计值，满足投资的分散化原理。从而验证了本文建立优化模型的有效性。

四、结论

为了准确的计算次新股的风险，克服参数方法需要假定次新股服从具体分布而导致次新股风险计算有误差的缺点。本文基于核密度估计方法建立次新股投资组合优化模型，并设计牛顿迭代算法对其求解。实证分析表明：核密度估计方法能够描述风险分布的尾部特征，给出更准确的估计结果。

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（作者单位：浙江理工大学理学院）