用弗赖登塔尔理论看一道中考压轴题的“再创造”

胡小明

【摘要】本文用弗赖登塔尔的“再创造”理论去看一道中考题的演变，这是一道2016年的中考题，经过“再创造”又在2018年的中考试卷上出现了.这给我们的教学带来了深深的思考.

【关键词】再创造;弗赖登塔尔理论;二次函数;压轴题

弗赖登塔尔的理论可以简单概括为：现实、数学化、再创造.本文着重用“再创造”理论看问题.“再创造”的核心是数学过程再现.教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作.中考压轴题一直是众多中考学生的头痛之处.很多人进入题海，再从题海上岸后，仍然对压轴题束手无策.原因在于他们没有真正做到“知其然，并知其所以然”，从而触类旁通，实现“再创造”.

试题1 （2016·连云港）如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（-1，1），B（2，2）.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D.

（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;

（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为7，求出点M的坐标;

（3）连接OA，OB，OC，AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标.

本题是压轴题，第（1）问考查了二次函数的关系式和点的坐标问题，难度不大;第（2）问则是与二次函数结合的三角形面積问题，难度中上;第（3）问则是与二次函数有关的三角形相似问题，二次函数和相似本来都是初中阶段的重难点所在，这两者又结合在一起，难度自然就很大了，只有很少的学生能够顺利完成，它体现了中考对优秀学生的选拔要求.

试题2 （2018·连云港）如图2所示，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k<0）与y2=ax2+b（a>0）的部分图像围成的封闭图形.已知A（1，0），B（0，1），D（0，-3）.

（1）直接写出这两个二次函数的表达式;

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点均在图形ABCD上），并说明理由;

（3）如图3所示，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标.

试题1和试题2都是同一地区不同年份的中考压轴题.那么，试题2是如何由试题1“再创造”而来的呢？笔者将其归结为以下两个方面：

1.图形的“再创造”.试题1是一条抛物线，试题2则是2条抛物线，而且试题2的2条抛物线还组成了近似椭圆的封闭图形，学生从视觉上易产生害怕情绪.

2.所提问题的“再创造”.都是3个小问题，第（1）问很相近，都是主要考查二次函数关系式的求法;第（2）问则完全不同，试题1的第（2）问是有关三角形的面积问题，试题2的第（2）问则是主要考查了正方形的性质问题;第（3）问都是最难的，但考查的都是三角形相似的存在性问题，考查点和所用方法的核心都是一样的.

作为教师，最根本的任务是教会学生如何学习.这对我们教师提出了更高的要求，我们先要学会讲题，然后再对题目本身进行再创造，从容应对一道题目的各种演变，以保证将学生引上“再创造”的道路上去，让学生的数学活动更为主动、有效.

【参考文献】

[1]教育部基础教育课程教材专家委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.