论分层讨论思想在大学数学解题中的应用

章晓娥 赵瑄

【摘要】分层讨论思想在大学数学解题过程当中有着非常广泛的应用，在某种程度上有效地降低了大学数学题目的难度，能够有效吸引学生的注意力，进而不断增强其教学的质量.本文就以分层讨论思想在大学数学解题中的具体应用进行研究讨论.

【关键词】分层讨论思想;大学数学;解题;应用;探究

在大学数学的解题过程当中，应用分层讨论思想能够将相应的知识点充分联系起来，使得学生在解题的过程当中，能够更加直观的明确其中所蕴含的数量关系.在大学数学解题过程当中，繁多的解题方法反而增加了数学的解题难度，使得学生在学习的过程当中难以有效掌握题目所蕴含的信息.而通过分层讨论思想，能够让学生将复杂的题目简单化，帮助学生明确解题思路，充分利用题目所给的条件和结论，然后加以分析，获得正解.

一、分层讨论思想概述

在大学数学的教学与学习过程当中，应用分层讨论思想不仅能够降低教学的难度，同时能够给予学生更多的引导和启示，使得学生在解题的过程当中能够充分利用分层讨论思想来解决难度较大的题目.分层讨论思想的实质是在解题的过程当中，针对题目所给的条件和结论进行分层，然后结合题目所给的要求和不同对象进行分类讨论，通过化整为零与积零为整的思想来解决相应的题目.分层讨论思想能够有效整理数学问题和结论，使得相应的数学题目信息能够更加直观地展现到学生的眼前，把复杂的问题简单化.

二、分层讨论思想的应用原则

在大学数学题过程当中，应用分层讨论思想时，首先要保障分层讨论的各项知识点与题目所给各项知识点的总和一致，只有这样才能够保障分层讨论思想应用的准确性.其次，为了保障分层讨论思想应用的高效性，在实际题目分析过程中，其分析的各项知识点，应当是相互独立的内容，不重复，不相同.再者，在大学数学解题过程当中，为了保障其解题的高效性和准确性，应用分层讨论思想，则要求学生能够保证题目划分的标准，按照统一的标准对题目进行统一的划分，以此有效保障题目划分的有效性.

三、当前大学数学教学现状

随着教育体制的不断改革，在现阶段的高等学校教学工作开展过程当中，大部分高校为了适应社会经济及科学技术发展的需求，纷纷做出了院系结构调整的举措，再加上高校扩招，越来越多的学生能够接受高等教育.但就具体的教学情况来看，由于不同的专业，不同的学科，不同基础的学生，不同的课程学习需求，使得学生的学习效果存在一定差异.而用人单位更加看重学生的专业知识和专业实践.传统的教学方式已经无法满足当前是教学的实际需求.换一句话说，传统的教学方法已经无法满足学生的学习需要，再加上学校的考核难度降低，使得大学数学教学的效果不佳.分层讨论思想能够有效解决不同学科之间对数学教学的要求，还能够有效培养学生的数学能力.

四、分层讨论思想的应用

（一）雙重积分的应用

在大学数学双重积分的计算过程当中，该部分内容对学生的要求较高，在解题的过程中，首先要选定坐标系，且能够确定积分次序，进而达到题目化简的目的.运用分层讨论思想，使得学生在解题的过程当中能够分块计算[1].首先要确定被积函数是否含有绝对值符号，以及被积函数是否是分段给出的，被积函数是否为取整函数，被积函数是否为符号函数，在具体的计算过程当中，积分区域上下和左右边界曲线的表示形式是怎样的.而在变换积分次序的题目当中，学生可以通过分层次讨论的方式来分析题目所给积分函数的形式，以及题目考查的目的和意义，以此有效增强学生解题的目的性.在双重积分的计算过程当中，可以通过分层讨论的方式，将二重积分转化为二次积分，就是将二重积分的计算转换为两次积分计算.在具体的题目中，学生可以通过分层讨论的方式来画出积分区域D的图形，进而确定某一坐标轴的积分线，再确定另一坐标轴的积分线，明确其积分的上下限，最后再进行计算.通过分层讨论发现在双重积分计算的过程当中，首先要选择合适的积分顺序，尽可能地选择简单的积分区域，以此有效降低计算的难度.

（二）函数与极限的应用

在大学数学函数与极限的解题过程当中，利用分层讨论的学习方式，首先加强基础知识的学习，大致理解函数与极限的定义，且能够明确定理的内容.在此基础上加强对定义和定理的深入了解，且能够学会应用相应的定理来解决简单的数学问题.数列和函数极限的定义，其中函数极限包括自变量和极限值的各种不同情形以及单侧极限.在分层讨论的过程当中，要明确无穷小和无穷大的概念，加强其阶的比较.为了进一步提高其解题的准确率，在分层讨论的过程当中还需要明确极限的运算性质，且能够掌握两个重要极限，夹逼准则和单调有界准则.在讨论的过程当中还要注意到函数在某一点连续的定义和函数间端点的定义，其中包括函数的左右连续以及间断点的分类.在最后的讨论中，还要求学生能够加强整理所学的知识点，掌握连续函数在闭区间上的整体性质.而在实际的应用过程当中，学生就可以利用其所学的知识，通过分层讨论的方式来解决函数与极限中的问题.

五、结束语

总之，在大学数学的解题过程当中，采用分层讨论的学习方法在一定程度上能够有效降低学生的学习难度，帮助学生更好地掌握基础知识和定理.因而，在大学数学的学习过程当中，则要求学生能够积极主动地探究，且能够不定期的反思和总结，充分利用分层讨论的学习思想不断加强基础知识的学习和巩固.

【参考文献】

[1]铁勇.论分层讨论思想在大学数学解题中的应用[J].丝路视野，2016（21）：128，130.