浅谈数值分析对研究生数学建模的作用

杨帆 朱鑫玉 李敦刚 付军良

【摘要】结合近十年给工科研究生上“数值分析”学位课中积累的经验，从“数值分析”的主要教学内容：数据建模、求解方程和数值算法三个主要方面说明了“数值分析”课程对研究生数学建模的重要性.

【关键词】研究生建模;数值分析;数据建模

随着计算机和计算方法的飞速发展，科学计算已与科学理论和科学实验鼎立为现代科学的三大组成部分之一，并在许多科学和工程领域中逐渐形成了计算性学科分支.这些计算性的科学和工程领域，又以数值计算方法作为其共性基础和联系纽带[1].数值分析，也称为数值计算方法，是数学学科中关于数值计算的一门学问，其主要研究如何借助计算工具求得数学问题的数值解答.数学作为一种精确的科学语言，是以一种极其抽象的形式出现的.要用数学方法解决一个实际问题，就必须在实际问题与数学之间架起一座桥梁，而数学模型就是在解决这类问题[2][3].全国研究生数学建模竞赛是面向全国在读研究生的科技竞赛活动，目的在于激发研究生群体的创新活力和学习兴趣，提高研究生建立数学模型和运用计算机解决实际问题的综合能力，拓宽知识面，培养创新精神和团队合作意识，促进研究生中优秀人才的脱颖而出、迅速成长，推动研究生教育改革，增进各高校之间以及高校、研究所与企业之间的交流与合作.数学建模是数值分析联系实际的桥梁，在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、数值微分等.因此，在数学建模中，数值分析内容对解决实际问题起到关键性作用.笔者从以下三个方面谈谈数值分析在研究生数学建模中的作用.

一、数据分析

全国研究生数学建模竞赛赛题大多来自工程实际问题，其中就有数据处理问题，并且所给的数据都是比较多，比较庞大的.这些数据都是实际测量得到的，具有真实性，这些数据往往隐藏着某种关系，具有一定的研究价值.因此，如何处理及分析数据成为解决问题的关键性一步.在数值分析中，对数据建模有两大类方法：一类是插值方法，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、三次样条插值法等;另一类是拟合方法，如最小二乘法.一般而言，插值方法比较适合数据准确或数据量较少的情形，而拟合方法则比较适合数据有误差或数据量较大的情形.这两种方法在数学建模中经常被运用于数据分析.因此，数值分析在研究生数学建模中对数据分析起到了重要作用.

二、求解方程

在工程计算和科学研究中，如电路和电力系统计算、非线性力学等许多领域的实际问题都可以转化为一个非线性方程的求根问题.已经证明，对五次及五次以上的一元多项式不存在精确的求根公式，至于超越方程更难求其精确解了.因此，求解一个非线性方程的近似根，已成为目前相关领域的科研工作者迫切需要解决的问题.在数值分析中，对求解这类问题的方法主要有二分法、牛顿法、割线法、简单迭代法及其加速法等.

在科学与工程计算中的许多实际问题的数学模型可以用常微分方程来描述.由于绝大多数常微分方程难以求得其精确解，因此，研究常微分方程的数值解法具有十分重要的应用意义.在数值分析中，常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：一类是单步法，其代表是龙格-库塔方法;另一类是多步法，其代表是亚当斯方法.

全国研究生数學建模竞赛赛题大多来自工程实际问题，而这些实际问题可以转化为求解一个方程、方程组或者求解一个矩阵问题.在数值分析中，对求解以上问题都给出了一些比较成熟有效的方法.因此，数值分析对解决一些工程实际问题有着不可替代的作用.

三、数值算法

当前，科学计算的应用范围非常广泛，如天气预报、工程设计、流体计算、经济规划和预测以及国防尖端的一些科研项目，以及核武器的研制、导弹和火箭的发射等，始终是科学计算最为活跃的领域.面对这些实际问题提出了越来越多的复杂的数值计算问题，必须依靠电子计算机快速准确的数据处理能力.因此，寻找适合在计算机上求解各种数值问题的算法就显得至关重要了.一个好的算法应该具备以下特征：（1）必须结构简单，易于计算机实现;（2）理论上必须保证方法的收敛性和数值稳定性;（3）计算效率必须高，即计算速度快且节省存储量;（4）必须经过数值实验检验，证明行之有效.在数值分析中，对算法的选择与设计，提出了一些理论和原则，如误差的基本理论、数值算法设计的若干原则等.

数值分析中对数值算法理论的一些应用体现在求解问题的各个方面，如前面提到的数据分析以及求解方程等问题.并且数值分析对数学分析中出现的积分计算以及微分计算，提出了一些有效的求积公式和求导公式.因此，数值分析应用各行各业，对求解实际问题起到了关键性的作用.

总之，数值分析知识应用到各行各业，对求解一些实际问题给出了解决方法.学好数值分析这门课程，也为参加数学建模竞赛打下一个良好的基础.

【参考文献】

[1]马昌凤.现代数值分析（MATLAB版）[M].北京：国防工业出版社，2013.

[2]周丽.略论数学建模教育与高校数学教学方式改革[J].南昌教育学院学报，2011（3）：83-85.

[3]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1987.