浅阱中双组份玻色-爱因斯坦凝聚体基态的稳定性研究

周小燕， 梁青青， 赵春艳

( 兰州文理学院 传媒工程学院， 甘肃 兰州 730070 )

玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose -Einstein condensate,BEC)[1]由美国科学家埃里克·康奈尔等于1995年在实验中首次发现.因BEC不仅可为研究量子力学的基本问题提供一个宏观系统，而且还可应用于原子激光、精密测量、量子信息和量子计算等领域，因此受到国内外学者的关注，并取得了大量的研究结果[2-9].近年来，学者们对有限深势阱中单组份BEC的稳定性进行了大量的研究，结果表明影响BEC稳定性的因素有很多，如原子之间的相互作用，囚禁原子数目的多少，凝聚原子与热原子之间的相互作用等[10-11].也有学者对双组份BECs的稳定性进行了研究，结果表明双组份凝聚体的稳定性比单组份BEC的稳定性更加复杂，其稳定性既与同组份原子内部和不同组份原子之间的相互作用有关，还与囚禁的原子数多少有关[12-14].目前，学者从原子的临界数和基态能量方面对BEC的稳定性研究得较少，基于此本文在不考虑相分离和热原子影响的情况下，利用变分法分析有限深势阱中两组份凝聚体的稳定性，得出凝聚体塌缩的临界条件，并从有效势和能量的角度分析凝聚体的稳定性.

1 模型方程

首先给出两组份凝聚体的耦合方程:

(1)

Ψi(x,y,t)=ψi(x,y,t)fi(z,t),

(2)

其中fi(z,t)表示轴向方向的波函数.将轴向波函数fi(z,t)定义为

(3)

其中lz i是描述其中任一组份凝聚体轴向长度的物理量.利用式(2)和(3)可得到二维轴向方向的GPEs方程：

(4)

V(r)=r2exp (-cr2).

(5)

由此方程(4)变为：

(6)

2 有限深势阱中两组份凝聚体的基态

本文使用高斯型试探波函数研究凝聚体在V(r)=r2exp (-cr2)中的稳定性.高斯型试探波函数为

(7)

其中Ai和Ri分别是波包的振幅和宽度.波函数(7)满足归一化条件

(8)

1) 从原子数方面来讨论基态的稳定性.方程(6)在柱坐标下的拉格朗日密度为

(9)

将方程(5)和(7)代入方程(9)中，可得到方程(6)的有效拉格朗日方程：

(10)

将方程(5)变为

V(r)=εr2exp (-cr2),

(11)

并将其代入到方程(10)进行重复计算.令R1=R2=R,a1=a2=a， 则根据∂Leff/∂Ai=∂Leff/∂Ri=0和方程(8)可得出N与k,k1,c，R之间的关系式为

(12)

(13)

由式(13)可知，只有在满足k+k1<0的条件下，两组份凝聚态才有可能存在稳定态，即满足a+a1<0的条件下存在稳定态.由以上可知，当给定相互作用系数k和k1时，就可以得出一个临界原子数上限；当原子数超过这个临界值时，系统就会塌缩：这表明组与组的相互作用对凝聚体的稳定性具有重要的作用.

2) 从基态能量方面讨论凝聚体的稳定性.二维凝聚体在有限深势阱中的基态能量为

(14)

将方程(7)代入方程(14)，得基态的能量为

(15)

求基态能量的极值后可得基态宽度的方程：

(16)

令R1=R2=R,g1=g2=g,N1=N2=N/2， 则方程(15)和(16)可分别简化为：

(17)

(18)

从方程(18)可知，只有当g+g12> -8π时，方程(17)才有意义，即当体系满足g+g12> -8π时才会有稳态出现.该结论和式(13)一致.