一类非线性薛定谔方程解的衰减估计

韩琦悦， 李春花

( 延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

非线性薛定谔方程

在光学领域中具有重要应用[1].方程中v是一个未知的复值函数,v=v(t,x)，t≥0，x∈R;p>1;μ(t)是一个实值函数;λ∈C.若λ=-1,μ(t)=a≤0， 则有

(1)

式中t≥0，x∈R，p>1.2009年, M.Ohta等[2]研究了方程(1)的大初值整体解的存在性和不存在性.2016年, Jin等[3]研究了方程

(2)

1 预备知识

定义1设m,s为非负实数，定义Sobolev空间为

为了表述方便，本文简记Hm,0(R)=Hm(R).

(3)

引理2[4]设u∈X1,∞是方程(3)的整体解，则有:

2 主要结果及其证明

证明在定理1条件下，由文献[4]知方程(2)存在唯一整体解v(t,x)∈X1,∞.下面应用文献[3]的方法证明方程(2)整体解的衰减估计.

(4)

在方程(4)两边同时作用FU(-t), 则有

其中

(5)

(6)

将式(6)代入式(5)，得

(7)

将上式代入式(7)，则存在η>0使得

(8)

(9)

将上式代入式(9)得

(10)