比解题方法更重要的是数学本质*——以一道模考题求解为例

江西省萍乡市湘东中学 (337016) 彭小奇

近日学校组织的一次联考，理科数学第20题是一道解析几何题，涉及直线与圆、向量等内容.命题组提供的参考解答是解析几何的通法，但计算量较大，学生得分率较低.

一、试题重现

已知圆C过点(4,1)，(0,1)，(2,3)，过P(-2,0)的直线l与圆C交于M,N两点.

(1)若圆C′:(x+2)2+(y-4)2=9,试判断圆C与圆C′的位置关系，并说明理由；

二、解法探究

常规解：(1)过程略，易得圆C:(x-2)2+(y-1)2=4,两圆相外切;

图1

三、教学感悟

一般地,学生在解题过程中用联立方程的通法陷于繁杂的计算，茫然不知所措，反映出解析几何解题教学中过于有重解题方法，轻数学本质现象.实际上,解析几何是用代数的方法研究几何问题，是数与形的统一.解决解几题首先应充分利用平面几何知识(如本例中解法4圆幂定理的运用，求圆中弦长运用弦心距，直线与圆锥曲线相交求弦长时，利用直线参数方程中参数和几何意义等)；其次是运用代数、三角、向量等数学知识，这样才能相得益彰.总之，数形结合是解析几何的本质，图形直观是高考重点考查的核心素养.教学中只有注重数学本质，才能真正地提高学生分析问题和解决问题的能力.