基于发展核心素养的概念课教学设计*——以“等比数列”教学为例

江西省南昌市豫章中学 (330006) 陈 平

概念教学在高中数学中处于核心地位，基于发展核心素养的数学概念教学，需要教师树立为发展学生核心素养而教的意识，分析教学内容所承载的核心素养内涵，寻求实施策略，精心教学设计.笔者以“等比数列”教学为例，创设问题情境，让学生在解决问题过程中，深化对等比数列的理解，促进数学核心素养的发展.

1.教学分析

1.1 教材内容分析

数列是高中数学重要内容之一，是刻画离散现象的函数.等比数列是一种十分重要的数学模型，它起着承前启后的作用.本节教学内容和教学过程为发展学生核心素养提供了很好的生长点.具体如下:

教学内容涉及的核心素养一览表

1.2 学生学情分析

高一学生具有一定的理解、分析、概括和推理能力，逻辑思维能力也初步形成，由于年龄原因，思维尽管活跃，敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨.学生对数列及等差数列有了一定认识，对方程和数列公式的应用具备一定技能，但不全面、不透彻.

2.目标分析

2.1 目标设计

(1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念；探索并推导等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；体会等比数列与指数函数的关系.

(2)坚持问题导向，创设问题情境，开展观察、抽象、猜测、建模、运算、推理、验证等探究活动，促进学生数学核心素养的形成和发展．

(3)培养学生积极思考的学习习惯和勇于探索的学习方法，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣.

2.2 重点与难点

教学重点：理解等比数列的概念；体会等比数列是自然规律的数学模型；探索并掌握等比数列的通项公式；利用归纳、类比的方法及己有知识解决实际问题.

教学难点：对等比数列定义及通项公式深刻理解；分析具体问题情景，建立等比数列模型，应用概念和公式解决新问题.

3.教学方法

(1)激发学生学习兴趣和求知欲望.营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，让学生真正成为教学的主体，参与教学全过程，唱主角，老师任导演.

(2)让学生在实际生活中发现问题、探索规律，经历知识的形成和发展，力求学会用类比的思想去分析问题，体会获取知识的途径和思考问题的方法.

(3)精心设计问题，以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达.力求反馈的全面性、及时性,让学生思维动起来，逐步养成科学严谨的学习态度.

4.教学过程

4.1 巧设情境，提出问题

问题1 小实验：已知一张正方形白纸的厚度为1、面积为1,将白纸一次次对折.看清楚:纸的厚度和面积将怎样变化?

学生:填表.

折012345…厚度12481632…面积1121418116132…

学生众说纷纭:可以,不可以,气氛热烈.

学生:不可以.因为它是指数函数y=2x，当x取正整数的函数值.由指数函数性质知,当自变量增大时,函数值增大非常快.

教师:很好,是这样吗?我们一起来看看:如果一页纸的厚度按0.04毫米计算,当折到第28次的时候,请大家估算一下纸的总厚度.

0.04毫米=0.04×10-3米,厚度为:228×0.04×10-3=10737.41824米.

众学生:哦！比珠穆郎玛峰还要高呀！

有学生：指数“大爆炸”！

问题2 南昌市今年工业总产值为a元，计划在以后5年中每年比上一年产值增长10%，试列出从今年起6年的产值(单位:元).

学生:这6年的产值分别为:a,1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.

设计意图:以小游戏开头,且此结果出乎预料,激发学生学习兴趣.通过现实生活中的实例,用数学语言来描述、抽象成数列问题,感悟数列与指数函数的关系，使学生体会数学与生活紧密联系，发展学生的数学抽象、直观想象素养.

4.2 共性归纳，生成概念

问题3 观察刚得到的三个数列有什么共同特点？

学生:从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数.

教师:对.类比等差数列定义,能得出什么结论?并用准确、规范的语言表述出来.

学生:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).

教师:非常准确、规范.这就是我们今天要学的等比数列的定义.等比数列的数学表达式怎样?

学生1：有序性:从第2项起每项与它前一项的比，而不是与其它项的比.

学生2：任意性:从第2项起任意项与它前一项的比是常数.

学生3：同一性：每一项与它前一项的比都是同一常数.

学生4：确定性：公比q≠0，在等比数列中没有数值为零的项.

教师:大家归纳的非常好,说明同学们对定义有一定的理解.从等比数列的定义来看,它有四个特点:①有序性;②任意性;③同一性;④确定性.

设计意图:让学生充分发表自己的见解，强化学生的主体地位.观察、分析、挖掘具体数列共性,类比等差数列的概念,提炼出等比数列的定义、数学表达式及特点、抽象出等比数的概念，体会数学知识之间的联系,培养学生语言表达能力，归纳总结能力，发展学生数学抽象素养.

4.3 自主探究，辨析概念

问题4 以下数列中，哪些是等比数列?

(3)1，2，4，8，12，16，20；(4)a,a2,a3,…,an；

请学生辨析，教师一一点评.

设计意图:巧设一组含盖各种情况的问题,让学生自主探究，辨析概念,进一步加强对概念的理解和认识，建立等比数列有关命题，构建等比数列模型，发展学生的数学抽象素养.

4.4 类比推理，拓展概念

问题5 设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，求通项公式an.

学生:an=a1qn-1,n∈N+.可用类比等差数列通项公式推导的方法来推导,如归纳法、叠加法.

教师:很好.下面大家各自推导,请三位同学上来做.

学生1:由等比数列的定义知道：

在这个公式里，如果令n=1，a1=a1q1-1=a1q0=a1.这就是说，当n∈N+时，an=a1qn-1总成立.

教师:这是用不完全归纳法.注意：以上过程不是证明，我们以后可用数学归纳法来完成证明.

将各式相乘，即得an=a1qn-1.由于n=1时，等式成立，所以n∈N+.

教师:这叫叠乘法.

学生3:an=an-1q=an-2q2=an-3q3=...=a2qn-2=a1qn-1.∴an=a1qn-1.由于n=1时，上式成立，所以n∈N+.

教师:这叫迭代法.大家类比等差数列通项公式的推导方法,分别用了三种不同的方法推导出等比数列通项公式:an=a1qn-1,n∈N+.

问题6 类比等差数列,写出等比数列任意两项间的关系.

学生:an=amqn-m(n∈N+,m∈N+).

设计意图:采用类比等差数列的方法，让学生观察、分析、猜想、验证、证明等比数列的通项公式和任意两项间的关系，培养学生归纳、类比、演绎的推理能力.探索和表述有关代数论证的思路和过程，发展学生的逻辑推理、数学运算素养.

4.5 问题驱动，应用概念

问题7 1.在等比数列{an}中,(1)a2=18，a4=8，求a1和q；(2)a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.

学生一边做,教师逐一点评,看学生完成后.

教师:同学做得非常好.这是等比数列的定义和通项公式的应用,大家做完后有何体会?

学生1:“知三求一”.在等比数列中:首项a1，公比q，项数n，第n项an，若知道其中的三个，那么就可以求出另一个.

教师:很好,这是方程的思想.还有吗?

学生2:两个独立条件，可求出等比数列的各项.与等差数列的解题方法一样,在等比数列中,己知两个独立条件,可以列出两个方程,解联立方程组,可以求出首项a1，公比q,根据通项公式可以求出等比数列的各项.

设计意图:类比等差数列的解题方法，应用等比数列的定义、通项公式解决实际问题，进一步深化对等差数列、等比数列内在联系的理解.理解等比数列的实质，掌握等比数列通项的运算法则，设计求等比数列通项的运算程式，发展学生的数学运算素养.

4.6 引申铺垫，迁移概念

问题8 在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求an.

全班顿时鸦雀无声，多数同学脸上愁云密布，思考片刻，看到有同学眼睛放光后,教师提问两名学生.

学生1:从an=3an-1+2中可以看出{an}并非等比数列但是可以想办法构造一个新的与an有关的等比数列.

教师：思路非常好！关系式不是等比数列,想办法转化成一个新的等比数列来求解,如何变形来转化？

学生2:把常数2处理掉.

学生3:在关系式两边都加1，得an+1=3(an-1+1)，数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有an=2·3n-1-1.

教师：很好,就是在关系式两边都加1，有时通过直观比较难发现,有通法吗?

学生4:设an+λ=3(an-1+λ)，an=3an-1+2λ，对比an=3an-1+2，得λ=1,于是，得an+1=3(an-1+1).

教师：用待定系数法可解决，非常好.还有不同的做法吗？

学生5:由已知递推式，得an+1=3an+2，an=3an-1+2(n≥2).上述两式相减，得an+1-an=3(an-an-1).因此，数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，以3为公比的等比数列.所以an+1-an=4·3n-1，即3an+2-an=4·3n-1.所以an=2·3n-1-1.

教师：形如an=pan-1+q(p,q为常数)的数列，可以用以上两种方法转化为等比数列来求其通项公式.

设计意图:根据“最近发展区”理论,设置问题情境，让学生“跳一跳”，又能够得着，从而激发学生的探究兴趣，把课堂推向高潮.培养学生能依据具体情况，抽象出其中等比数列的数量关系，发展学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养.

5.教学反思

5.1 吃透教材内容，把握概念教学着力点

教学内容是发展学生核心素养的载体和土壤，教材是数学学习重要的资源，吃透教材，理解好教学内容，在教学设计中落实学生的核心素养，就有了固着点，在教学实施中发展学生核心素养就有了生长点. 这两者结合，就是我们教学的着力点.鉴于等差数列与等比数列有许多类似的特点,本节课牢牢地抓住类比的方法这一着力点，就两者的定义、性质、公式、解题方法等方面的异同进行类比，建立等比数列的概念，深化对等差数列，等比数列内在联系的理解，发展学生核心素养.

5.2 坚持问题驱动，设计合理的问题情境

问题驱动是数学教学的基本原则之一.问题应基于概念的本质来精心设计，做到环环相扣,层层递进，引导学生思考、探索，突出重点，化解难点，帮助学生铺设通往新知的道路.教学目标，既是课堂教学的起点，又是课堂教学的归宿，支配着教学的全过程.

5.3 注重过程变化，体现概念“源”与“流”

数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程.学生对于概念的理解，一般要经历“了解—理解—应用—见解”逐步深入的过程.所以概念教学也需要分四步走，首先了解概念的形成过程；其次是加强对概念的理解、认识；再次是对概念的应用；最后提出见解，抑或是反思及再创造.要讲清楚概念的“源”与“流”.“源”讲的是数学知识发生过程，“流”讲的是数学知识的发生演变.教师应该引导学生体验数学概念产生的过程，揭示概念的来龙去脉.