研究性学习：学会学习的有效突破*——以双绝对值不等式恒成立问题为例

甘肃省永昌县第一高级中学 (737200) 张得南

学会学习是学生发展核心素养之一.开展研究性学习，也是培养学生学会学习的有效方法之一，而对学科课程教学内容中的问题、方法、规律的探究是研究性学习的形式之一.因此，我们在平时的教学中，要把研究性学习渗透到学科课程教学中，就要帮助学生树立正确的学习观念、激发学生学习的浓厚兴趣、培养学生良好的学习习惯、使学生掌握科学的学习方法，通过学习实践、自我审视，达到学习的最终目的.本文通过复习双绝对值不等式恒成立问题为例，立足发展学生核心素养，助力学会学习,在此抛砖引玉，供同仁和学习者借鉴.

一、教学素材(不等式模块复习结束后布置的课外作业，也是学习小组3提出的问题)

1.(2018年高考数学全国1卷)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

2.(2018年高考数学全国2卷)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.

作业要求：分析题目考察的主要知识点；探索双绝对值不等式问题的解题思路；总结解决恒成立问题的规律与方法.

点评：1.教学素材的确定，是不等式模块复习完成后，学生对这一阶段的所学内容已经有了较为全面的理解和掌握之后进行的.准确确定有研究价值的教学素材，是复习课的关键之一，内容丰富的教学素材，对复习能起到事半功倍的效果.

2.选择学生提出的问题为研究对象，并且提出作业要求，较好地体现了学生的主体地位，把主动获取知识、发现、创新的权利还给了学生.

二、教学实施

(师)本节课我们来研究解决上节课布置的作业.(即第3学习小组提出的问题)解含有绝对值不等式的基本思想是什么？

(生)去绝对值符号，使不等式变为不含绝对值的不等式.

(师)很好，那么我们在解决含有双个绝对值符号不等式的题目时，常用的方法有哪些？

(生)零点分段法去绝对值符号；利用绝对值的几何意义去绝对值符号；利用数形结合法去绝对值符号.

(师)请两个学习小组来展示这两道题目的第一问解法.

(第1学习小组、第2学习小组分别展示)

(师简单讲评)

(师)现在我们研究从恒成立和有解问题可转化为函数的最值问题这个角度来重新审视和解决含有2个绝对值符号不等式的问题——即这两道题目的第二问.

(一)知识储备

(第3学习小组展示)1.恒成立问题的转化

(1)∀x∈A,使得f(x)fmax(x);

(2)∀x∈A,使得f(x)>a恒成立⟺∀x∈A,都有a

记忆口诀“参数a大于大的”“参数a小于小的”，简记为：“取两边”．

(第4学习小组展示)2.有解问题的转化

(1)∃x∈A,使得f(x)fmin(x);

(2)∃x∈A,使得f(x)>a有解⟺∃x∈A,有a

记忆口诀“参数a大于小的”“参数a小于大的”，简记为：“取中间”．

(第7学习小组展示)3.含有两个绝对值符号函数，形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值，利用绝对值的几何意义可推导出以下结论：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,则fmax(x)无,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,则fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

点评：通过学习小组自主合作、探究、总结知识规律，促使学生“要我学”变成“我要学”.

(二)实战训练(解决含参并且含有两个绝对值不等式的高考题)

(师)同学们总结的很好，请哪位同学给我们举出一些实例来强化训练？

(第5学习小组展示)例1 关于x的不等式

|x+1|+|x-2|≤|a|存在实数解，求实数a的取值范围.

(解答后由第6学习小组展示)解析：构造含两个绝对值函数：令f(x)=|x+1|+|x-2|，根据题意，题目可转化为有解问题，∃x∈A，使得f(x)≤|a|有解⟺∃x∈A，有fmin(x)≤|a|．

参考结论：若f(x)=|x+a|+|x+b|,则fmax(x)无,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=3．

综上所述，|a|≥3，解得a的取值范围为{a|a≤-3或a≥3}．

(第2学习小组展示)例2 存在x实数使不等式|x-a|+|x-1|≤3成立，求a的取值范围．

(解答后由第1学习小组展示)解析：构造含两个绝对值函数：令f(x)=|x-a|+|x-1|，根据题意，题目可转化为有解问题，∃x∈A，使得f(x)≤m有解⟺∃x∈A，有fmin(x)≤m．

参考结论：若f(x)=|x+a|+|x+b|,则fmax(x)无,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-1|．

综上所述，|a-1|≤3，解得a的取值范围为{a|-4≤a≤2}．

(第6学习小组展示)例3 设a,b∈R,|a-b|>2，求关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集．

(解答后由第4学习小组展示)解析：构造含两个绝对值函数：令f(x)=|x-a|+|x-b|，根据题意，题目可转化为恒成立问题，即∀x∈A，使得f(x)>2恒成立⟺∀x∈A，都有2

参考结论：若f(x)=|x+a|+|x+b|,则fmax(x)无,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-b|．

由题意知|a-b|>2，解得原不等式的解集为x∈R．

点评:自己提出问题，自己探究解决问题的这种“乐学善学”局面，这正是师生共同追求的目标.

(三)思维拓展

(由师生共同讨论总结得出，师点拨、板书)

1.在解不含参的含有两个绝对值不等式形如“|x+a|±|x+b|≥c，|x+a|±|x+b|≤c”问题时，可以利用含两个绝对值符号函数形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值结论：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,则fmax(x)无,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,则fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

2.已知f(x)=|Hx+b|+|x+c|，求f(x)的最小值(高考考试题型)其中H≥1，b和c中有一个是参数，一个是已知量.

(师)请哪位同学给再给我们举出一些实例来强化训练？

(第3学习小组展示)例1 若f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，求实数a的值.

(第6学习小组展示)解析：∵H=2≥1,∴f(x)≥|x+1|+|x-a|,由|p|+|q|≥|p-q|得f(x)≥|(x+1)-(x-a)|=|a+1|,所以f(x)的最小值是|a+1|.由已知|a+1|=5，解得a=-6或4.

(第8学习小组展示)例2 若f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，求实数a的值.

点评：通过小组合作学习，自主总结、强化训练、巩固提高，进一步帮助学生掌握了有效的学习方法.

三、教学反思

1.以学生提出的问题为教学“引子”，调动了学生浓厚的学习兴趣，放手引导学生进行探究，进一步刺激了学生主动探究问题的欲望和乐趣，培养了学生自主学习的意识与习惯.

2.研究性学习，打破了传统课堂教学以灌输为主的教学方式，教师成为了学生学习的引导者、合作者、促进者.特别是以小组合作交流学习，让学生发现问题，并分析、探究、解决问题，有效地发展了学生的核心素养.

3.本节课改变了学生原来那种被动的、偏重于死记、机械训练的接受性学习方式，进而采用对知识进行主动探求、在探求中掌握知识、并重视解决实际问题的主动积极的学习方法，这是一种有利于学生终身学会学习、学会应用、学会创新的学习方式.