多金属露天矿多目标生产计划优化问题建模及求解算法

2020-05-28顾清华吕艳红卢才武阮顺领

金属矿山 2020年4期

顾清华吕艳红卢才武阮顺领

（1.西安建筑科技大学管理学院，陕西西安710055；2.西安建筑科技大学资源工程学院，陕西西安710055）

1 引言

矿产资源是一种不可再生资源，近年来随着经济下行和矿产资源的逐渐枯竭，矿山企业必须采用高效节约的生产方式进行开采生产，而伴生资源的合理利用是当前矿山企业降本增效的重要途径之一。原有针对单一矿种的生产计划优化方法，只能达到单一矿产资源的优化目标，不能满足当前矿山企业进行多矿种综合利用和精细化开采的实际需要，因此对多金属露天矿的多目标生产计划优化问题研究显得十分重要和迫切。有效的多金属露天矿生产计划的制定是合理持续地利用有限矿产资源和提高矿山企业经济效益的关键。

露天矿的生产计划优化问题是一个组合优化问题。近年来，国内外许多文献对露天矿山生产作业优化问题建模进行了研究。①在资源有限的情况下，多数露天矿生产计划优化问题以生产开采成本最小为目标进行研究，如Eivaz等[1]以开采成本最小为目标编制多出矿点露天矿采掘生产计划，满足矿山实际生产需求；吴仲雄等[2]以年运费最低为目标函数，矿山可采量和供矿量等为约束条件，构建露天矿开采计划模型。②根据矿石品位具有分布广、波动大等特点，部分生产计划优化研究侧重对矿种品位波动的研究，以品位波动最小为目标进行研究，如王李管等[3]、Bascetin[4]根据矿山的生产需求，从矿石品位波动的角度出发，以单一矿种品位波动最小为目标建立配矿生产计划模型，解决入选矿石不均匀的问题，提高矿产资源利用率；Gholamnejad J等[5]针对地质品位因素，从品位不稳定的角度出发建立生产计划模型，优化结果较接近于实际生产要求。③露天矿的生产计划也受外部市场等不确定因素的影响，金属的价格变化对生产计划的影响也是研究热点，如Stone P等[6]以企业经济效益的角度出发，提出价格和经济成本的模型，利用整数规划的方法生成最优的中长期生产计划。④除此之外，还有学者从开采顺序[7]、投资价值和风险[8]等方面进行了相关研究。综合上述研究分析，国内外关于露天矿生产计划的问题研究均在一定程度上满足矿山企业绝大数经济指标需求，但存在以下不足:一是现有文献主要以单一矿种为研究对象，不能满足当前低品位多矿种综合开发利用的实际需求，不利于企业的高效节约生产；二是多数露天矿生产优化问题模型目标单一，不能满足实际生产中多因素多目标综合优化的实际需求。

随着对露天矿山生产计划优化问题建模研究的不断深入，计算复杂性增加，露天矿山生产计划很多情况下是NP完全问题，其求解方法也是研究生产计划优化问题的重点。很多采用人工的方式控制矿山的计划、采装，这种方式难以保证生产的准确性、连续性及稳定性。目前对矿山生产计划优化模型的求解方法主要侧重于两个方面。一是数学规划的方法，主要包括整数规划[9]、动态规划[10]等方法。这些数学方法是露天矿生产计划优化建模应用较早的方法，一方面由于其目标函数唯一，且对多约束问题模型的求解有一定的限制，导致在实际应用中仍存在不足。相比于数学方法，群体智能优化算法在求解规模复杂的优化模型方面具有明显的优势。近年来，许多研究用智能优化算法求解矿山的生产计划优化问题，为矿山开采生产的准确性、连续性及稳定性提供保证。Moosavi等[11]将遗传算法和拉格朗日相结合，对矿山采掘计划进行了研究分析；Samavati[12]提出一种局部分支启发式算法快速合理安排矿石块体的开采顺序，使得整个生产过程的净现值达到最大；Asif K等[13]提出用粒子群对生产计划优化模型进行求解；Sattarvand等[14]、Shishvan等[15]将蚁群算法应用到露天矿的采掘生产计划的编制之中。目前这些算法大多针对单一矿种、单一目标的生产计划优化问题进行求解，而针对多金属多目标的生产计划优化问题，分别从算法的收敛性、准确性等方面进行研究的文献仍十分不足。

综上分析，对目标生产计划优化问题建模及求解的研究是多金属露天矿山企业伴生矿产资源综合利用及精细化排产的迫切需求。因此，本研究以采掘运输成本最小和矿石品位波动最小为目标，以出矿点的出矿量为变量，构建多目标生产计划模型，实现多出矿点多种矿石的综合协同优化，同时提出了一种用IGWO算法求解多目标露天矿生产计划的方法。

2 多金属露天矿多目标生产计划模型

生产计划的实质就是根据矿山生产条件和环境，将高低品位各不相同的矿石按照比例进行混合以满足矿石的质量要求，如图1所示。将编制好的生产计划方案反馈到采装、运输、选矿等环节，指挥生产作业。在露天矿山生产中，通常会存在很多采区，每个出矿点的平均品位不同。精细化生产就是根据不同矿区的品位分布和资源量分布，按照质量目标和产量目标，制定详细的生产计划。实现矿石品质的搭配，提高资源利用率，变废为宝，增加矿山的服务年限。

最终境界内，如何合理安排每个出矿点的出矿量是编制露天矿生产计划的关键。本模型仅考虑一个采区的不同的出矿点。在计划期内，设露天矿山本采区含i个出矿点，每个出矿点的出矿量为xi（i=1,2,…,n），以xi为变量，建立多目标生产计划模型。

2.1 目标函数

（1）开采成本最小目标函数。每个出矿点的采掘成本不同，同时出矿点到卸矿点的距离有所不同，所以采掘运输费用不同。因此，以采掘和运输成本最小为目标函数。

式中，ci为出矿点i运输和采掘成本，$/t；xi为第i个采点的出矿量。

（2）矿石品位波动最小目标函数。为了满足选矿厂的矿石质量要求，通常要合理地安排不同品位矿石的出矿量，矿石品位要最大限度地满足最佳生产要求，同时力求各种矿石的品位偏差最小，进而提高整个矿床的利用率。

2.2 约束条件

（1）出矿点出矿量的约束。采场的出矿量必须小于或者等于其最大出矿量，同时为了保证露天矿山企业的收益，出矿量不能小于最小允许采掘量。

式中，qimin，qimax分别为出矿点i的最低出矿量和最高出矿量。

（2）矿石质量分数约束。由于每个出矿点矿石品位不同，配矿的质量决定了最终开采矿石质量的优劣，按照入选矿石的质量要求进行选矿，尽可能让入选矿石的品位指标在一定的范围内进行波动。

（3）破碎站处理能力约束。露天矿山的采场的处理能力要根据出矿量计划合理安排。

式中，Omax，Omin分别为矿山出矿量的上限和下限；oi每个受矿点的处理能力。

（4）出矿总量约束。在某一计划期内，露天矿的出矿总量是根据露天矿长期的生产计划制定的，要同时满足每个出矿点的要求和出矿总量要求，即不大于最大出矿总量。

式中，Q是某一计划期的出矿总量；φi表示第i个出矿点的矿石回采率。

（5）矿产资源利用率约束。矿石回采率影响着矿石资源的利用率以及矿山成本，适当地提高矿山的回采率可以提高矿产资源利用率。

式中，θmin，θmax分别为综合回采率的下限和上限。

2.3 模型处理

2.3.1 目标函数处理

根据矿山的实际情况，将各个指标的计划值作为目标函数fi(x)的一个标准值fi0，求函数fi(x)与计划值之间的偏差最小。将模型中的多目标函数优化模型转化为单目标函数模型进行求解。转化方式如下：

式中，f10为成本最小值；f20为品位波动最小值；wi反应在优化过程中对各个目标侧重程度，引入均差排序法确定各个权系数[16]。

2.3.2 约束条件处理

露天矿生产计划优化模型是一个具有复杂约束的多目标问题，对多个约束的有效处理是问题优化的关键，先对问题的约束条件作如下处理：

约束条件难以处理的问题，通过引入惩罚函数[17]，把模型转化为无约束优化。用约束条件构建目标函数通常是在目标函数中加入惩罚约束函数，从而对不可行解进行过滤，处理形式如下：

式中，λ为惩罚因子；φj(x)为约束条件。将处理后的约束条件加到目标函数中，将复杂的多约束多目标问题转化为无约束问题，便于问题的求解。

3 用改进灰狼算法求解生产计划模型

3.1 基本灰狼算法

灰狼优化算法（GWO）[18]是Mirgalili在2014年提出的一种模拟灰狼种群的等级制度和捕食行为的新型群体智能优化算法。灰狼群体遵循等级社会制度，其层级分为α、β、σ、ω4个层次，规定α为群体的历史最优解，β为次优解，σ为第三最优解，其他个体为ω。在d维的搜索空间中，灰狼群体在移动时采用下式进行更新：

式中，t为当前的迭代次数为猎物在d维空间上的位置为狼群对猎物的包围步长为收敛系数，用来平衡全局搜索和局部搜索表示自然界的影响作用。分别为

式中，rand1，rand2分别为[0，1]之间的随机变量；a为收敛因子，随着迭代线性递减：

灰狼群体是根据前3个最优解的位置来更新各自的位置，更新公式如下:

3.2.2 非线性收敛因子调整

灰狼算法的全局搜索和局部搜索之间的有力协调是保证算法寻优性能的关键。算法中的收敛系数|A|与算法的全局搜索和局部搜索能力有很大的关系，由式（12）可知，A随收敛因子a的变化而进行变化，a又是进行线性递减。但是在算法的实际搜索过程中，收敛因子a的线性递减方式不能体现在优化过程之中。所以对收敛策略进行改进，为了更好地平衡算法的局部和全局的搜索能力，采用非线性变化更新方式：

式中，aini，afin分别为收敛因子的初始值和终止值。

3.2.3 改进更新公式

灰狼算法首先随机产生一组候选解，每次迭代选出最好的3个候选解记为α、β和σ，它们引导着整个种群朝着最优解方向移动，但是在寻优过程中对较好的解并没有记忆功能。受粒子群算法寻优策略的启发，在灰狼算法迭代的过程中引入自我学习和

3.2 改进的灰狼优化算法

灰狼算法原理简单、易于实现、参数设置简单。但是与其他的以种群迭代的智能算法相似，灰狼算法也有求解精度低、易陷入局部最优的缺点。为了改善算法的寻优性能，本研究对基本灰狼算法做相应改进。

3.2.1 反向学习生成初始种群

对于以种群迭代为更新方式的优化算法而言，初始种群的优劣影响着算法全局搜索的速度以及解的质量。基本的灰狼算法初始种群的多样性不足，会影响种群的优化效率和结果。为了提高种群的多样性，在本研究中采用反向学习策略，利用已知个体位置的对立点生成新的个体位置，从而增加种群的多样性。

（1）先在搜索空间中随机初始化N个灰狼个体的位置作为初始种群p1。

（2）找到个体的反向点，根据初始种群p1来生成反向种群p2。

（3）合并种群p1和p2，对新的种群按照适应度值进行升序排序，为保证每一代种群的数量一致，选取前N个个体作为新的初始种群。群体学习策略，保留较优解的信息，避免算法陷入局部最优。对α狼的位置进行跟踪，视α狼的位置为全局最佳位置，更新公式如下：

式中，ω为惯性权重；r3，r4分别为[0，1]的随机变量；Xpbest为个体所经历过的最佳位置；X1为全局最佳位置；c1，c2分别为自我学习和群体学习因子，为[0，1]之间的随机数，主要协调群体和个体记忆对GWO算法搜索的影响，从而使得全局搜索和局部搜索平衡，减少陷入局部最优的概率。

3.3 模型求解

设计IGWO的粒子编码方法，每个个体代表一种生产计划方案，灰狼算法中每个粒子的维度表示出矿点，每个粒子的位置表示出矿点的采掘量，将模型处理后的目标函数作为IGWO算法的适应度值。采用IGWO对模型进行求解，算法流程如图2。

4 工程应用和结果分析

4.1 工程基本概况及结果分析

为了验证多目标露天矿生产计划模型有效性和IGWO算法的优越性，以某露天矿的生产数据为样本进行仿真实验。通过对某生产作业计划周期内的生产作业指标进行统计，已知作业期内矿石量为90万t，所有矿石来自于8个出矿点。矿物成分和生产作业指标如表1所示，各个出矿点的采掘和运输成本如表2所示。算法参数设置：最大迭代次数tmax=1000，种群规模为50，维数为8，aini=2，afin=0。根据勘探爆破数据，各个出矿点计划期内计划采掘量为x0=(5.00,8.00,20.00,8.00,5.00,17.00,9.00,18.00)，矿石的质量分数分别为（铁，铅，铝，锌）=（65.54%，1.40%，2.05%，2.76%）。在配矿生产中，每个出矿点的出矿量综合指标为5≤xi≤20（万t），各种矿石品位综合指标范围为65%≤g铁≤66%，g铅≤1.8%，g铝≤2.2%，g锌≤3.5%。

分别用PSO算法、GWO算法和IGWO算法对本文模型进行优化求解，得到3种算法求解迭代曲线，如图3所示。3种算法的寻优结果以及各个出矿点的出矿量如表3所示。

从图3中适应度曲线可知，IGWO算法在迭代到100～200代之间，结果在5.00%～5.05%之间波动，趋于平稳，验证了IGWO算法在解决生产计划问题上的可行性；在3种算法迭代的过程中，PSO算法和GWO算法在寻优的过程中，均有不同阶段陷入局部最优，IGWO算法相对两者能具有较好的寻优性能，表明IGWO算法的全局搜索和局部搜索之间协调较平衡。在求解精度方面，最终目标函数值PSO5.71%、GWO5.38%和IGWO5.05%，3种算法的优化结果进行对比分析，IGWO的优化结果相对于PSO和GWO求解结果较优，验证了在IGWO算法中可提高解的质量。其次，在求解速度方面，优化所用时间分别为6.55 s（PSO）、4.45 s（GWO）和 1.923 s（IGWO），IGWO算法所消耗的时间最短，相对于PSO算法求解速度提高71%。将PSO、GWO和IGWO3种算法的优化结果进行对比分析，由表3可知，在求解精度方面，IGWO的优化结果相对于PSO和GWO求解结果较优，验证了IGWO算法可提高解的质量。

将IGWO算法优化后各个出矿点的出矿量与优化前进行对比，如图4所示。分析图4，IGWO算法优化求解得到生产方案为X0=（12.77，7.05，18.55，10.00，14.77，5.00，7.65，20.00），总矿量为95.79万t。计划期的采掘计划总量为90万t，在用算法优化的过程中，往往会比计划期的采掘量要高，这主要是由于在优化的过程中采用罚函数对约束条件进行处理以及模型中品位偏差的约束影响，对低品位的矿石进行一定的回采，增加资源的利用率，同时也验证了模型的优越性。