D-Z矩阵线性互补问题解的误差界的新估计

周 平

(文山学院 数学与工程学院, 云南 文山 663099)

0 引言

线性互补问题是重要的优化问题之一,它被广泛地应用于工程技术、经济学、市场均衡、弹性力学、控制论、神经网络等领域的一些实际问题中[1].一般地,在构建线性互补问题的模型过程中,使用不同的方法得到的结果是不一样的,甚至会存在较大的差异,因此如何寻找最小误差界就显得非常重要.在矩阵理论中,P-矩阵有着非常重要的作用,很多学者对它的子矩阵的数值特征进行了探讨.特别地,近年来,P-矩阵及其子类矩阵的线性互补问题的误差界引起了大量学者的关注,并展开了一系列的研究,获得了一些颇有成效的结果[2-5].而对P-矩阵的新子类D-Z矩阵的线性互补问题解的误差界的研究较少,且已有的结果计算较复杂,因此寻找更好的估计式是非常有必要的.本文在文[6]的基础上进一步研究了该问题,且得到了仅依赖于D-Z矩阵元素的新估计式,且应用例子验证了新估计式提高了估计的精度.

1 基础知识

为了便于后文的研究,先给出如下记号:N={1,2,…,n},Cn×n(Rn×n)是全体n×n阶复(实)矩阵构成的集合.

设A=(aij)∈Cn×n,M=(mij)∈Cn×n,记

定义1[1]设A=(aij)∈Rn×n,q∈Rn,寻找解x∈Rn,使得(Ax+q)Tx=0,Ax+q≥0,x≥0.则该问题称为线性互补问题,记作LCP(A,q).

引理1[3]设A=(aij)∈Cn×n,它是P-矩阵,则LCP(A,q)的解存在且唯一.

引理2[3]设M是P-矩阵,x*和x分别是LCP(M,q)的精确解和近似解,则

其中:r(x)=min{x,Mx+q},表示x和Mx+q对应分量的最小值;x*表示LCP(M,q)的解;D=diag(d1,d2,…,dn), 0≤di≤1.

定义3[4]设A=(aij)∈Cn×n,如果∀i∈N,存在j∈N={1,2,…,n},j≠i,使得

那么A叫做Dashnic-Zusmanovich矩阵,常记作D-Z矩阵.

引理3[4]设M是D-Z矩阵,则M是P-矩阵.

引理4[5]若γ>0,η≥0，则对任意的x∈[0,1],有

引理5[6]设A=(aij)∈Cn×n为D-Z矩阵,则

引理6[7]设M=(mij)∈Cn×n为D-Z矩阵,且mii>0,如果B=I-D+DM,其中I是n阶单位矩阵,D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n,那么B是D-Z矩阵.

2 主要结论

定理1[8]设M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩阵,且mii>0,则

定理2[7]设M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩阵,且mii>0,则

3 D-Z矩阵线性互补问题解的误差界的新估计

设是D-Z矩阵，则根据引理1和引理3知，为P-矩阵，即它的线性互补问题的解存在且唯一，从而可应用引理2中的结果对解的误差界进行估计，即给出的上界.

定理3 设M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩阵,且mii>0,令B=I-D+DM=(bij),其中I是n阶单位矩阵,D=diag(di), 0≤di≤1,i=1,2,…,n,则有

其中

证明因为

由引理6知矩阵B为D-Z矩阵,从而根据B的定义和引理4,对∀i∈N有

ri(B)=diri(M)≤ri(M)

(1)

(2)

(3)

结合式(1)-(3),以及引理4和引理5得

令

即μ(B)≤ξi,j(M).

有

4 数值算例

应用定理2获得的估计式计算得

应用本文给出的定理3计算得

显然文中给出的新误差界比文[7]和[8]中的更小,说明定理3改进了D-Z矩阵线性互补问题解的误差界的已有结果,用该估计式进行计算更有效.