巧借“变式” 提升素养

江苏扬州市甘泉小学 刘付珍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调数学学习不仅要突出数学学科的本质特点，还应符合儿童思维发展的规律。数学课堂教学应努力探寻数学学习内容与儿童思维发展的联结点，笔者认为“变式”正是连接二者的有效桥梁。所谓“变式”，是指通过变更对象的非本质特征而形成的表现形式。然而变式不是盲目地变，而应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展规律，根据实际需要进行合理变式。到底该如何立足于常态化的课堂教学，巧借“变式”凸显数学学科的本质，使学生的智慧在“变式”中生长呢？笔者结合具体的教学实例，谈一谈自己的一些做法。

一、读透教材意图，找准变式的“点”，点燃思维

教材是课程标准的具体化，其编写特别注重思想性与科学性、观点与材料、理论与实际、知识和技能的广度与深度、基础知识与当代科学新成就的关系。在教学前，教者应读透教材的编写意图，由表及里，由此及彼，由近及远，用整体的观点、联系的思考、发展的眼光去分析数学知识背后的逻辑关系，丰富数学概念的意义内涵，探寻数学本质的源头与脉络。

例如，数学四年级下册“认识梯形”一课，它是在学生认识了三角形、平行四边形之后进行的学习。教学前，教师就需要运用整体的观念去分析蕴藏在该单元数学学习内容背后的数学知识间的脉络及内在的逻辑关系，建构起知识网络图（如图1）。

基于以上对教学意图的理解，在教学“认识梯形”一课时，笔者改变了直接出示例题图的导入形式，而是将学生对梯形的认识有效建立在对三角形、平行四边形的学习经验基础之上，从而找准变式的“点”，点燃思维的火花。

依次出示图形（如图2），学生将长方形、正方形和平行四边形分成一类，并发现这三个图形的共同特征是两组对边分别平行。

追问：是不是所有的四边形都是这样呢？（如图3）

……

师（电脑动态演示）：这是我们已经认识的三角形和平行四边形，如果让它们像这样相遇、重叠，重叠部分的形状是什么图形？（如图3）

师：如果旋转平行四边形，得到的还是梯形吗？学生说理由。依次旋转，得到图4。

追问：通过旋转，重叠部分发生了变化，为什么都是梯形呢？

师出示图5：将两个三角形像这样重叠，两个平行四边形这样重叠，重叠部分的图形还是梯形吗？为什么？

辨析后，学生将重叠部分的图形分别添上一条线段，分割出梯形。观察比较—动手尝试—展示交流，学生感悟到：图4中的四边形没有互相平行的对边，可以运用画平行线的方法，创造出一组，分割出梯形；右图是平行四边形，只要保留一组对边平行，破坏一组就可以了。

这样的认知过程，充分借助了变式，使学生在观察、对比、分析、交流中对梯形的定义有了透彻而清晰的认识，同时对如何将一般四边形及有两组对边分别平行的四边形分割出梯形的方法有了深刻的体验。在丰富学生对四边形类型的认识的同时，自然回答了课始的质疑“是不是所有的四边形都是这样呢？”不着痕迹地展示了图形间的区别与联系，培养了学生抽象、概括、归纳、类比的能力，发展了空间观念，培养了思维的敏捷性与批判性。

二、遵循逻辑规律，把准变式的“脉”，发展思维

学生是教学的对象，更是学习的主体。教师在进行教学设计及组织教学时，要基于学生的现实认知需求，准确把握学生已有知识的逻辑起点及现实的学习经验水平，遵循学生的认知规律，把准变式的“脉”，激发学生的学习兴趣，发展其思维品质。

如苏教版数学六年级上册“长方体和正方体的体积”一课，学生选择1 cm3的小正方体照样子摆出长3 cm宽2 cm高2 cm的长方体后，学生发现小正方体的个数是多少，这个长方体的体积就是多少立方厘米。教师紧接着提问：“回过头来看一看，你认为长方体的体积与什么有关？会有怎样的关系呢？” 指名回答后追问：“但是只凭一个例子能说明问题吗？”学生意识到需要举更多的例子来验证。于是以小组合作的形式学生继续借助1 cm3的小正方体进行研究。出示活动要求（如图6）。学生活动时教师借助相机拍摄学生摆出的长方体，并上传到电脑屏幕。反馈后追问：“大家举的例子真是太多了，但是不管怎么摆，都符合长×宽×高吗？”验证收集来的数据。师：“全班同学举了这么多的例子都符合，那万一有一个例子不符合呢？还要再举例子吗？永远也举不完，怎么办？”

结合PPT演示进行说理：长是多少厘米，一排就摆多少个1 cm3；宽是几厘米，就可以摆这样的几排；高是几厘米，就有这样的几层。刚刚我们是用1 cm3的小正方体来摆的。推想一下，如果用1 dm3，1m3……的正方体也是可以的。学生伸出手来跟着老师边比画边想象：一排摆了多少个，长就是多少；摆了几排，宽就是多少；有几层，高就是多少。因为小正方体的个数=每排个数× 排数× 层数，所以长方体的体积=长×宽×高。学生由实际操作的1 cm3的小正方体推想到1 dm3，1 m3……的正方体，借助合理的想象和推理，有力地证明了长方体的体积=长×宽×高，这样的过程使学生既经历了不完全归纳推理又感受了严密的逻辑推理。在对长方体体积计算方法的深刻理解后，学生很自然地推理出了正方体的体积计算方法，因为正方体是特殊的长方体，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

这样的探究过程既有验证方式的改变，也有用于测量的体积单位的改变，既有深刻细致的研究，也有简明扼要的推理。外形与内涵的有机变式基于学生在刚刚经历的自主探究过程中所积累的感性经验，遵循了学生的认知规律，既拓宽了学生的研究思路，帮助学生积累了研究的实践经验，又发展了其思维的深刻性与批判性，在迁移中培养了学生的探究精神与创新意识。

三、紧扣知识结构，定准变式的“本”，提升思维

周玉仁教授对小学生的数学学习过程曾这样阐释：小学生的数学学习是一个经验激活、利用、调整、积累、提升的过程，是建立在经验基础之上的一个主动建构的过程。小学数学教材的编排必须依据于学生的年龄特征及心理发展规律，学生所学习的数学知识也呈螺旋上升之势，各领域的知识板块看似独立却相互交融，有着不可分割的内在关联。学习时，教师应该积极引导学生捕捉知识的建构点、生长点及联结点，确立变式的“本”，综合学生的已有知识经验，帮助学生串起一条美丽的知识“项链”，抑或编织一幅靓丽的知识网络图，使学生在点—线—面—体的建构过程中，丰富认知，积累经验，在一维—二维—三维的深化提升中发展学科素养。

如上述所例举的“长方体和正方体的体积”一课，能够一针见血地抓住长方体的体积计算就是看长方体里有几个体积单位，紧紧立足于学生在认识体积单位时所积累的经验“用体积单位来测量物体的体积”，并且一次贯穿始终，在课尾回顾反思时，出示华罗庚的名言——量起源于量，将长度、面积、体积之间的联系打通。结合PPT的演示（如图7），引导学生思考：要知道这条线段的长度，咱们用长度单位去测量；要知道这个长方形面积呢？咱们用面积单位测量，看每排摆几个，摆了几排，实际上就是看长和宽里各有几个长度单位，用长×宽计算面积。今天咱们研究长方体体积，是用体积单位去测量，不仅要知道每排摆几个，摆了这样的几排，还要知道摆了几层，实际上就是看长、宽、高里各有几个长度单位，然后用长×宽×高计算体积。通过测量，不仅找出了计算公式，还沟通了长度、面积和体积之间的联系。这样的探究，不仅丰盈了学生的认知经验，还增强了学生的综合学习能力，提升了其思维的广度与深度。

四、依据数学逻辑，摸准变式的“理”，深化思维

皮亚杰说：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”学生良好的数学思维的发展需建立在学生切身体验数学活动的“过程”与“经历”之中。课堂上，教师应注重创设形式丰富的学习活动，把学生在数学课堂上应获得的数学活动经验注入于学生全员参与、自主探究、操作体验的数学活动的过程中，使学生在体验中领悟数学、丰富想象、积累经验、深化思维。如苏教版数学五年级下册“圆的面积”一课，课伊始，抛出问题：我们已经学习了哪些平面图形的面积计算方法？是怎样研究的？从而使学生感悟到要研究圆的面积计算方法，就要将圆转化为我们已经学过的平面图形。基于此，教师给予学生充分的时间和空间，学生拿出课前准备的圆片，将圆平均分成16份，尝试拼摆出近似的平行四边形、三角形和梯形（如图8）， 并在观察中发现各图形与圆之间的关系，借助计算，推理出圆的面积计算方法。虽然转化成的图形不同，但是殊途同归，都得到了圆的计算公式是πr²。

此环节，学生多形式的转化，依据的是数学知识学习的内在逻辑，变更的是研究问题的角度与方法，学生在对变与不变的分析思考中，感悟到了变式的“理”所在，既深化了对数学知识本质的理解，又丰富了对数学思想方法的认识，从而使思维向更深处漫溯。

数学教学中的变式绝不是旧瓶装新酒，更不是换汤不换药，它基于对教材的深刻研读，遵循学生的认知规律和知识间的内在逻辑。教师需从学生的已有知识基础和实际学习经验出发，有依据地变，有方向地变，有价值地变，使学生的思维在“变式”中燃烧，智慧在“变式”中流淌。