中值定理在不等式证明中的应用

王少东

(新疆昌吉州第二中学 新疆 昌吉 831100)

1.引言

为研究函数极值问题，最初由法国费马引入导数的思想，后被应用于物理等学科。导数是微积分的基础知识，为探讨函数、解决实际问题提供了有力工具。在数学知识中函数和不等式联系密切，也正因为如此，导数和不等式在内容上有着密切的联系。解决不等式问题的常用方法：分析法、比较法、综合法、重要不等式法、数学归纳法等，但对于一些特殊类型的不等式时，我们很难根据以上解决不等式的常用方法来研究不等式。掌握导数的概念、拉格朗日中值定理之后，对导数及函数的性质便会有更深层次的认知和理解。既然两者之间有着密切联系，那么如果我们将导数和不等式联系起来，对于某些特殊形式的不等式的证明问题就有了行之有效的解决方法。本文主要研究拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用。同时进行举例说明、归纳总结。以此来论证导数为不等式的证明提供了许多有效途径和简便的方法。

2.拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

微积分在研究物体变化上起到了重大作用，中值定理在微积分方面得到了很好的应用，同时也为许多不等式的证明提供了行之有效的方法。在理解此定理，几何意义，等价表达形式的基础上，重点对中值定理在不等式证明中的一些例题进行研究，并分析其解题的技巧和方法。

2.1 拉格朗日中值定理。中值定理[1]：若函数f满足如下条件：

(i)f在闭区间[a,b]上连续；

(ii)f在开区间(a,b)上可导，

则在(a,b)上至少存在一点ζ，使得

(2.1)

中值定理的几何意义：满足中值定理条件的曲线f(x)至少存在一点M(ζ,f(ζ))，使该点处的斜率等于曲线两个端点的连线AB斜率。也就是说曲线两个端点的连线AB与曲线在点M(ζ,f(ζ))处的切线相平行。

物理意义：曲线运动中，任意一个运动过程至少存在一个时刻(或一个位置)的瞬时速率等于整个过程中的平均速率。

定理中的公式(2.1)称为拉格朗日公式。

拉格朗日公式还有其他等价表达形式，不同的情况可选择适当的等价表示形式：

f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2.2)

f(a+h)-f(a)=f′(a+θh)h,0<θ<1；

(2.3)

f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a),0<θ<1 ；

(2.4)

f(x+△x)-f(x)=f′(ζ)△x,ζ∈(x,x+△x)；

(2.5)

△y=f′(x+θ△x)△x,θ∈(0,1)，其中△y=f(x+△x)。

(2.6)

注：拉格朗日公式无论是ab都，ζ是介于a与b之间的某一。(2.3)、(2.4)、(2.6)则是把ζ表达成了a+θh，a+θ(b-a)和x+θ△x的形式，无论a，b是何值，θ总可为小于1的正数。

其中x0=φ(t0)，y0=Ψ(t)。

证 令F(t)=f(φ(t),Ψ(t))，由拉格朗日中值定理，得

F(t2)-F(t1)=F′(t0)(t2-t1)，(t1

多个函数高阶微分中值定理[2]：设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)满足：

(1)在闭区间[a,b]上连续，

(2)在开区间(a,b)内有n-1阶导数，

则对任意的ci∈(a,b)，i=0,1,2,…,n-1其中c0=a，cn-1=b，存在ζ∈(a,b)，使

多个函数高阶微分中值定理的各种具体表现形式：

(1)当n=2时，可得

若取f1(x)=x，f2(x)=f(x)，则得f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2)取n=3，f1(x)=f(x)，f2(x)=x2，f3(x)=x，可得

这就是二阶微分形式的中值定理。

2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式。

即结论成立．

例2 (2010年全国统一考试理科数学21题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2。

(1)若a=0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。

解：(1)略

(2)若用一般方法计算，步骤如下：

f′(x)=ex-1-2ax由(1)知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立。故

f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x

当x≥0时，f(x)≥0。

f′(x)

故当x∈(0,In2a)时，f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0,In2a)时，f(x)<0。

可见，以上方法计算量大，且繁琐。下面将使用拉格朗日中值定理来解决这个问题。

令g(x)=ex-ax2-1，(x≥0)，g(x)满足拉格朗日中值定理条件，

即转化求g′(ζ)≥1,ζ∈(0,x)⟹g′(ζ)=eζ-2aζ≥1,ζ∈(0,x)。

令h(ζ)=eζ,ζ∈(0,x)也满足拉格朗日中值定理的条件，

从而将问题转化成了h′(η)=eη≥2a,η∈(0,ζ)。

本题使用两次拉格朗日中值定理把问题转化成我们所熟悉的函数不等式eη≥2a，η∈(0,ζ)从而进一步求解出结果，使得复杂的问题简单化，体现出了定理在不等式运用的优越性。

中值定理在不等式证明中的应用思想：

定理是以等式的形式存在的，我们可根据ζ在区间(a,b)上的取值估计f′(ζ) 的取值范围，从而将朗格朗日公式与不等式联系起来，这是应用中值定理证明不等式的重要思想。步骤如下：

(1)分析不等式的具体特点，如果所要证明的不等式和拉格朗日公式f′(ζ) (b-a)=f(b)-f(a)有形式上的相似，构造一个函数f(x)，这是关键的步骤。

(2)验证函数f(x)在区间内是否满足中值定理的两个条件，得出公式。

(3)将欲证的不等式变形，利用f(x)和f′(x)的性质，从而验证不等式。