思维可视化：提升学生的逻辑推理力

何健

摘  要：推理是一种贯穿学生数学学习始终的、内隐性的，比较高级、复杂的思维活动。可视化技术是教学的一种重要技术，能助力学生的推理。在数学教学中，教师可通过可视化提炼、可视化导航、可视化展现，提升学生的逻辑推理力。通过可视化技术，让学生的数学逻辑推理变得有条而不紊，有理且有据。

关键词：小学数学;思维可视;逻辑推理

东北师范大学史宁中教授将学生的主要核心素养概括为“抽象”“推理”和“建模”。其中，推理是一种贯穿始终的、内隐性的，比较高级、复杂的思维活动。从推理形式上看，推理主要包括合情推理和演绎推理。但无论是合情推理还是演绎推理，都具有自身的逻辑，逻辑性应当是推理的重要品性。为了触摸学生推理的逻辑脉搏，笔者认为，可以借助可视化的思维策略，引导学生的逻辑推理，让学生的逻辑推理更加有序、有向、有质。

一、可视化提炼，延展学生推理路径

所谓“思维可视化”，是指“运用图形、操作、语言等将隐性知识、思维显性化的过程”。通过思维可视化，能让学生的数学思维触手可及、有迹可循、有据可查，同时能让学生的数学思维动态展现。通过思维可视化技术，可以打开学生的思维黑洞，引导学生的思维走向，发现学生思维的运行模样。教学中，教师要引导学生对可视化、形象化的操作、图形等进行抽象、概括、提炼，从而延展学生的推理路径。

比如教学“两位数加两位数（进位）”（苏教版一年级下册），教材创设的情境是两个小朋友，分别有34枚邮票和16枚邮票，要求两人一共有多少枚邮票。教学中，教师可以借助小棒这一具有“齐性”的可视化素材，引导学生进行可视化的操作，让学生在操作中理解算理。在操作过程中，学生能主动地将“捆”和“捆”合并起来，将“根”和“根”合并起来，这是由于学生已经拥有了“类”的概念。但学生普遍是先将“捆”和“捆”合并，再将“根”与“根”合并。这样的本末倒置的操作，反映了“捆”在学生心中的地位。如何让学生从经验化的操作提炼为抽象化的算法？笔者在教学中，引导学生借助计数器，进行逻辑思辨：是先拨十位上的1还是先拨个位上的6？在可视化的操作中，学生发现，先拨十位上的1，再拨个位上的6，需要拨三次;而先拨个位上的6，再拨个位上的1，只需要拨两次，并且比较顺手。在可视化的比较之中，学生深刻理解了“满十进一”的计算算理。可视化操作，抽象、提炼出“两位数加两位数（进位）”的算法，即“从个位加起，满十进一”的计算法则。这样的计算法则有两个重要的逻辑意蕴：其一是为什么要“满十进一”，其二是为什么要从个位加起。可见，推理的逻辑性并不仅仅是传统的“三段论”，而更包括一种从生活、经验到数学的提炼、抽象过程。可视化的提炼、抽象，能让学生的推理路径得到延展。

在数学教学中，将原本不可见的思维方法、思维策略、思维规律等揭示出来，能增强学生的记忆，加深学生的理解。学生数学思维的可视化，不仅有助于学生建构知识，更有助于学生进行创造性的知识迁移、应用。如上述教学中，当学生理解了两位数加两位数的进位法则之后，自然就能理解多位数进位的加法法则。

二、可视性导航，优化学生推理水平

如果说，从生活、经验到数学的推理是一种横向数学化的过程，那么，从数学的感性认知到数学的理性认知的过程就是一种纵向数学化的过程。可视化技术，能对学生的数学思维进行引领。教学中，教师可以应用思维导图、思维记录单、知识连线等显性化的思维技术，引导学生进行数学学习。从这个视角说，可视化的技术是“路线图”，是“导航仪”，也是学生数学学习的“风向标”。

比如教学“多边形的内角和”（苏教版四年级下册），学生认为，要探究多边形的内角和，可以从简单的多边形的内角和开始探究起，如四边形的内角和、五边形的内角和、六边形的内角和，等等。由于学生刚刚学习了三角形的内角和，因此学生都运用探究三角形内角和的方法探究四边形、五边形等多边形的内角和。在探究四边形内角和的过程中，学生初步感受、体验到四边形的内角和比三角形的内角和复杂一些，因为测量、剪拼的角变多了。到了探究五边形时，学生发现剪拼法已经无能为力了，因为所拼成的角已经超过了平角。基于此，筆者出示思维导图：四边形可以怎样分成三角形方便？五边形呢？当学生探究出四边形、五边形等多边形与三角形的关系后，笔者运用“可视化的问题”启迪学生进行逻辑推理，进而概括规律。“四边形所分成的三角形的个数与四边形的边数有怎样的关系？”“五边形所分成的三角形的个数与五边形的边数有怎样的关系？”“一百边形应当可以分成多少个三角形？”“一千边形呢？”在观察、比较的过程中，学生发现，从多边形的一个顶点出发可以分成的三角形的个数比多边形的边数少2。在进一步的追问——“为什么从多边形的一个顶点出发将多边形所分成的三角形的个数”中，学生从多边形的对边、邻边的视角，深刻理解了之所以会少2个三角形，正是因为一个顶点只有和对边才能构成三角形。

可视性导航，引导学生主动猜想、推理、验证。教学中，教师要整体把握教学内容，运用可视性技术，对学生的思维进行层层引导。学生通过递进推理，能从对数学知识的感性认知，逐步过渡到对数学知识的本质理解。在这个过程中，不断地提升了学生的推理水平。

三、可视化展现，提升学生推理素养

将可视化的技术应用到数学教学之中，可以唤醒学生的文本思维，可以激发学生的思维活力，可以引领学生思维的纵深发展。在数学教学中，教师要充分运用可视化技术，引导学生在推理过程中对相关的素材、内容等进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，从而让学生数学推理从无序走向有序、从混沌走向清亮，从而不断提升推理素养。

比如教学“成正比例的量”（苏教版六年级下册），对于复杂的问题如“圆的周长和圆的半径是否成比例、成什么比例？”“圆的面积和圆的半径是否成比例、成什么比例？”等等，我们可以通过运用可视化的表格，来引导学生进行推理。从假设半径开始，学生会发现圆的周长、面积都是随着半径的扩大而扩大，但学生直观地发现，圆的周长和圆的半径扩大的倍数是相同的，扩大的进度是相同的;而圆的面积和圆的半径扩大的倍数是不同的，圆的面积比圆的半径扩大的倍数要多得多、快得多。通过可视化的表格，学生感悟到，圆的周长和圆的半径以及圆的面积和圆的半径的关系不是同一种关系。通过可视化表格的展示，笔者引导学生计算圆的周长、圆的面积和圆的半径的比值，由此促进学生深刻理解圆的周长与圆的半径成正比例，而圆的面积与圆的半径不成比例。这里，可视化的展示、展现，让学生的数学思维从模糊走向清晰。

可视化技术是教学的一种重要技术，能助力教师的教和学生的学。在数学教学中，当学生遇到复杂的、疑难的问题之后，可以借助可视化的展示，廓清学生的数学认知，梳理学生的数学思考，帮助学生整理信息、厘清关系。如此，学生的数学学习就能有条而不紊，数学思维就能变得有理且有据。