优化作业设计 助力数学学习

曹如祥

摘要：数学作业是学生学习数学知识、提升数学能力必不可少的一项数学学习活动，也是引导学生课前先学，驱动学生课中优学，推动学生课后再学的关键环节，因而如何优化作业设计，助力学生更加有效地学习数学，进而提升能力和素养。

关键词：数学作业;作业设计;个性学习

数学作业是由教师设计、学生自主完成的数学学习活动，一般可分三类：阅读作业、口头和书面作业、实习作业。数学作业是学生学习数学知识、提升数学能力必不可少的一项数学学习活动，也是引导学生课前先学，驱动学生课中优学，推动学生课后再学的关键环节，因而如何优化作业设计，助力学生更加有效地学习数学，进而提升能力和素养，是当前数学老师必须直面的一个重要问题。本文结合笔者多年实践，谈谈一些做法。

一、 优化课前作业设计，诱发学生学习热情

教育理论认为设计合理的问题，创设适量的作业能激发学生强烈的学习欲望，能激发学生学习的内在动力，让他们积极主动地参与到知识的发生、发展的探究中去，体会数学源于生活的道理。

在设计课前作业时，应遵循以下原则：

（一）生活、趣味性

数学源于生活，又服务于生活。新课程需要科学世界向生活世界的回归，强调情境创设的生活性，所以，要注重学生的生活实际，要发现、挖掘学生的日常生活中的资源。课前作业是对上课基本知識的提前了解，这就需要学生对知识点有兴趣，如果能把课前作业与日常生活相联系，无疑是一种好办法。

案例1：学习二分法时，可设计如下一些作业：

①一条长为100km的供油线路中有一处出现故障，如何迅速查出故障所在？要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，要检查多少次？“故障”又怎样查出呢？若要求误差不超过1m，要检查几次？

②如何将x0所在的区间尽量缩小？x0所在的区间缩小到什么程度为止呢？进一步回答下列问题：什么叫二分法？用二分法求方程近似解的步骤是什么？

通过创设如上与生活相关的作业，可以极大提高他们学习二分法的兴趣，进而带动他们进行数学思考。

（二）通俗、简明性

所列的问题要通俗易懂，简明扼要，有利于学生读取问题中的基本信息和问题的解决。抽象的问题要具体化，复杂的问题要简明化，深奥的问题要简单化。

案例2：在学习“复数”时，可设计下一些作业：

方程x2=-1，在实数范围内无解，但在人类的生活、生产和科学研究中又常见，怎样解决这个问题？

通过回忆数的发展、增强研究数的发展规律的探索的认识，对数的发展增强了兴趣和记忆。

（三）冲突、针对性

创设课前作业时，应该围绕学习目标，选择有针对性、对学生有认识冲突的问题进行作业设计，能使学生在自主探索、合作交流的过程中初步了解数学知识和技能，使课前预习更具实效。优化预习作业设计，一定要精心备课，精研教材，不能让学生无章可循。

案例3：学习集合的表示法时，提出以下作业：

1. 在初中我们曾用0，1，2，3…表示自然数，但是在抛物线y=2x-1上的点的集合、实数集等又怎样表示呢？

2. 在初中人们常说不等式-2x-1≥0的解集为 x≤- 1 2 ，但在高中这样的说法是不恰当的，究竟应该如何表示这个集合呢？

进一步回答下列问题作业：

3. 什么是列举法？举例说明如何用列举法表示集合？

4. 什么是描述法？举例说明如何用描述法表示集合？

通过初高中的对比，让学生对集合的学习产生浓厚的兴趣，增强学习的效果。

二、 优化课中作业设计，驱动学生主动探究

为了不断激发学生学习的兴趣，引导学生将学习深入推进，较充分体现课改所倡导的学生学习的自主性、探究性，教学时“随时随地”适时设计出“大、小”有层次的问题、作业，引导学生一步一步深入地理解、探究，进而发现问题、分析问题和解决问题，建构知识体系，发展能力。在设计课中作业时，应遵循的原则有：探索性、规律性、层次性、小专题型、适用性、严谨性和思想性。①探索性指所设计的问题和作业要有一定的内含，没有现成的答案，需要去分析探索的;②规律性指所设计的问题和作业不仅要符合学生的认知、发展规律，也要符合出题规律;③层次性指所设计的问题和作业要由易到难的梯度，使不同层层次的学生都有收获;④小专题型指所设计的问题和作业应体现小专题的形式出现，才使零碎的问题和作业有一定的系统性;⑤适用性指所设计的问题和作业能适合全体学生的实际水平，以保证使绝大多数学生在课堂上处于参与状态;⑥严谨性指所设计的问题和作业在一些细节上故意犯错，让学生发现，再共同纠错，加深对问题的认识，形成严谨的学科态度;⑦思想性指所设计的问题和作业不仅要体现数学的思想方法，也要体现人生的价值意义，体现情感态度、价值观。

案例4：在学习选修2-3《二项式定理的证明》的作业

问题1. （a+b）2展开式中各项是怎样构成的？展开式共有几项？

问题2. 计算（a+b）3，能否回答下列：

①合并同类项之前展开式有多少项？

②各项的系数为多少？

③从上述三个问题，你能否得出（a+b）3的展开式？

问题3. 仿照上述过程，请你推导（a+b）4的展开式。

问题4. 仿照上述过程，请你推导（a+b）n的展开式。你能证明这个结论吗？

问题5.

（1）观察“杨辉三角”发现规律

①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？

②观察第2行中2与第1行各数之间什么关系？

第3行中3与第2行各数之间什么关系？第4行中的4、6与第3行各数之间有什么关系？由此你能得出怎样的结论？

（2）杨辉三角的特点

①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等。

②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。融入数学文化，进行德育教育。

问题6. 观察（a+b）n的展开式，总结二项式定理的特点？

①二项展开式共有n+1项。

②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此二项式系数Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn。

③二项式系数对称性。

④二项式系数增减性与最大值。

⑤各二项式系数的和2n。

通过杨辉三角的学习理解二项式定理的理论依据。

问题7. 求（1+0.01）100近似值。

情境回归，让学生知道知识的应用，激发学习兴趣。通过（1+0.01）100≈2.7，教育学生“每天进步一点点，一百天后进步了近3倍！”，理解每天努力的重要意义。

三、 优化课后作业设计，促进学生个性学习

课后作业是学生巩固课堂知识，提高能力的有效途径。在设计课后作业时，应遵循的原则：①基础性与多样性相结合。学生在接受能力方面存在着个体差异。重视学生的个性发展，针对学生学情，设计不同层次的作业，以满足不同学生的需要，让中等以上的学生持续保持学习的劲头，而相对落后的学生也能看到自己的進步，树立自信。②针对性与实效性相结合，即要求作业要针对学习的重点、难点，学生学习中的共性进行设计，并且及时布置。布置作业务必重视针对性与实效性相结合，才能真正提高学生的数学水平。③特殊性与规律性相结合，在作业的布置过程中，注意作业的常见问题和处理问题的一般方法与特殊方法。④易错、易混与科学性、严谨性相结合。通过作业中易错题、易混、疑难题的练习设计不仅让学生进一步掌握了本单元的知识，而且提高了学生学数学的兴趣。同时也培养了学生的严谨性的数学思维，科学的学科态度。

案例5：在《必修5》基本不等式的教学后，可布置以下分层作业：

（一）作业（A层）必做题

①下列结论正确的（  ）

A. 当x>0且x≠1时，lnx+1lnx≥2

B. 当x>0时，+1x≥2

C. 当x>5时，x+1x的最小值是2

D. 当x<0时，x+1x无最大值

②求函数f（x）=x+1x-4（x>4）的最小值。

③已知0

（二）作业（B层）选做题

①已知x>0，y>0，x+y=1，求2x+4y的最小值。

②已知x+3y-2=0，则关于3x+27y的说法正确的是 （  ）

A. 有最大值6

B. 有最小值2 3

C. 有最小值6

D. 有最大值2 3

③已知x>2，求函数y=x2+4x+2 x的最小值。

（三）作业（C层）课外思考题

①若对任意x>0，x+1 x2+3x+3≤2a-1恒成立，求a的取值范围。

②已知x>0，y>0，且不等式1 a+1 b+k-2 a+b≥0恒成立，求k-1的最小值。

③设x，y∈R，xy≠0，则x2+1 y21 x2+4y2的最小值为。

这种“自选式”作业，减轻了学生负担，保证了全体学生在不同目标下学有所得。从作业完成情况来看，上交的数量更多了，差生的解题正确率也明显提高。

四、 优化复习作业设计，引导学生反思学习

艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，在学习中的遗忘是有规律的，如不抓紧复习，课内外为课堂教学的努力就降低了上课的效率，所以在一定阶段后要通过单元作业进行巩固学习，根据单元难点、重点、高考地位、常见题型，单元学习中产生的问题和学生学习中产生的共性问题，布置阶段性的单元作业，驱动能对问题进行较高水平探究和变换，能对问题进行较高水平归纳和总结，驱动学生自我反思，自我提高，进一步提升课堂效益。

案例6：如在《必修5》二次不等式的教学过后一段时间里，可设计以下单元作业：

1. 解不等式：①2x2-x-1≥0;②-x2-2x+8>0;③（x2-2）lnx>0

2. 不等式组x2-4x+3<0x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a-1<0的解集的子集，求a的取值范围。

3. 如果关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0。

4. 若不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的范围。

5. 解关于x的不等式x x-1<1-a。

6. 设函数f（x）=|x2-6x+5|。

①在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象;

②当k>2时，证明在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象上方。

这种递进式题组呈现给学生，为学生进行有目的、有方向的纵向探讨或横向思考创造机会。最终达到巩固、提升单元教学要求的目的。

以问题为切入点来创设作业，以作业为载体，来激发学生的求知欲，旨在提高课堂效益，培养解决问题的实践能力，驱动学生的主观能动性，切实解决高效课堂理念融入学科教与学，让学生在学习中获得个性发展，全面发展。

参考文献：

[1]杨晓翔.刍议中学数学教学中“问题串”的使用[J].中学数学研究，2009（1）.

[2]陈玉生.数学作业功能及设计策略初探[J].中学数学教学，2012（12）.

[3]温彩丽.激发识字兴趣提高识字效率[J].小作家选刊（教学交流），2011（7）.