* 《小问题》2020-1解答*

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2020-2 如图1所示，一陀螺由质量为m、半径为r的均质圆盘(厚度可不计)及通过盘心且与盘面垂直的直杆AB刚连后组成。直杆AB长为l，质量忽略不计，设l>r/2。陀螺铰接于铅垂轴Z上，当Z轴以匀角速度ω转动时，求：

(1) 陀螺的平衡位置(用AB杆与Z轴的交角θ表示)，并分析其稳定性。

(2)陀螺在稳定平衡位置附近微振动的圆频率。

(选自上海交通大学吴镇编《理论力学》下册22-22题，由江苏大学张孝祖改编并提供解答)

图1

问题： 圆环半径为r，质量为m，以向前的水平速度v0和相应于闲回里滚动的方向的角速度ω0与水平地面接触。接触时，圆环与其移动速度v0在同一个铅垂平面内。圆环和地面的滑动摩擦系数为f，滚动摩阻不计。问：

(1) 在什么条件下圆环会往回里滚动？

(2) 在何时何处开始作纯滚动，角速度是多少？

(3) 在什么条件下，往回里滚动的圆环正好在着地时开始作纯滚动？

(供稿：薛聿泷)

解答：

(1)根据圆环着地后移动速度v和转动角速度的方向，地面摩擦力的方向仍是向后。

圆环中心运动微分方程为

其中，a为中心的加速度(水平)，据此可得

圆环的转动微分方程为

得

因此，圆环中心的移动速度等于

圆环转动角速度等于

以往回里滚动的方向为正。使圆环最后能回滚的条件就是：当v=0时，ω >0。v=0时t的计算如下：由式(4)可得

这时的角速度之值

因此，使圆环最后能回滚的条件就是ω0−v0/r >0，即ω0>v0/r。

根据式(7)，圆环开始回滚的瞬时，其滚动角速度为

(2)此后的运动规律

由于滚动的方向仍是向后(顺时针)，故地面滑动摩擦力仍是指向后面，因而加速度和角加速度仍是指向后面(顺时针)，各值仍为式(1)和式(2)。

因此，从开始回滚算起，圆环中心的移动速度(这回以向回里为正)等于

图1

其中，t以开始回滚算起。圆环转动角速度则等于

依以往，ω以回滚为正。作纯滚动时，即v=ωr时

得所要时间

若从着地时算起，则时间为

回滚到开始作纯滚动的距离，根据式(7)，等于

然根据式(3)和式(5)，开始回滚处离着地点的距离等于

故开始作纯滚动处与着地点间的距离等于

以向前为正。这时的速度，即以后的等速运动的速度等于

(3)所要条件就是x=0，即，根据式(16)可得

或者