Gaschütz定理的一个新证明

王兆权

青岛滨海学院文理基础学院， 山东 青岛 266000

[x,y;f]=f(y)-1f(x)-1f(xy)

[x,y;f]∶=f(x)-1f(y)-1f(xy)

称[x,y;f]为元素x和y的f-反分配子.本文在文献[5]的基础上，通过考虑群在函数集合上的反作用证明了下面的定理.

定理A(Gaschütz定理)设H是G的交换正规子群，U是G的子群且满足H≤U，(|H|,|G/U|)=1.

(1)若H在U中有补群，则H在G中存在补群；

(2)若K1,K2是H在G中的两个补群，且满足K1∩U=K2∩U，则H在G中的任意两个补群共轭.

当U=H时，得到定理A的直接推论：

推论B(Schur-Zassenhus定理)设H是G的交换正规子群，且(|H|,|G/H|)=1，则

(1)H在G中有补群；

(2)H在G中的任意两个补群都共轭.

推论C 设H是G的正规子群，如果(|H/H′|,|G/H|)=1，则

(1)H在G中存在关于H′的相关补群；

(2)H在G中关于H′的任意两个相关补群共轭.

本文中，其他术语和符号是标准的，参见文献[6，7].

1 预备知识

fa(x)∶=f(a)-1f(xa) ∀x∈G

称fa为函数f在a下的反共轭.

(1)f(e)=e,其中e为单位元；

(2)f(xy)=f(y)f(x)，∀x,y∈G.

则称f是群G到群K上的反同态.

定义3 设G是有限群，Map(G,K)为群G到群K上的函数集合，SMap(G,K)表示集合Map(G,K)的置换群，如果存在一个反同态映射

则称群G反作用在集合Map(G,K)上.

证明 先证充分性.对任意g∈G,我们有fx(g)=f(x)-1f(gx)=f(g),即f(gx)=f(x)f(g),所以f是群反同态；下证必要性.因为f是群反同态,所以f(gx)=f(x)f(g),从而推出fx(g)=f(x)-1f(gx)=f(g).

[x,y;f]∶=f(x)-1f(y)-1f(xy)

称[x,y;f]为元素x和y的f-反分配子；若引入函数反共轭，则上述形式变为

[x,y;f]=f(x)-1fy(x)

[y,z;f]f(x)=[x,y;f][xy,z;f][x,yz;f]-1

证明 由定义4知,对于x,y,z∈G,一方面有

f(xyz)=f(yz)f(x)[x,yz;f]=f(z)f(y)[y,z;f]f(x)[x,yz;f]

另一方面有

f(xyz)=f(z)f(xy)[xy,z;f]=f(z)f(y)f(x)[x,y;f][xy,z;f]

于是

[y,z;f]f(x)=[x,y;f][xy,z;f][x,yz;f]-1

(2)[x,y；fi·fj]=fj(x)-1fi(x)-1fj(y)-1fi(x)[x,y;fi]fj(y)fj(x)[x,y;fj].

证明 根据定义1展开得到

(fi·fj)a(x)=fi·fj(a)-1fi·fj(xa)=fj(a)-1·fi(a)-1fi(xa)·fj(xa)

由定义4可得

[x,y；fi·fj]=fi·fj(x)-1fi·fj(y)-1fi·fj(xy)

=fj(x)-1·fi(x)-1fj(y)-1·fi(y)-1fi(xy)·fj(xy)

又注意到f(xy)=f(y)f(x)[x,y;f],于是

[x,y；fi·fj]=fj(x)-1fi(x)-1fj(y)-1fi(y)-1fi(y)fi(x)[x,y；fi]fj(y)fj(x)[x,y；fj]

从而

[x,y；fi·fj]=fj(x)-1fi(x)-1fj(y)-1fi(x)[x,y；fi]fj(y)fj(x)[x,y；fj]

证明 显然F是群G到群K上的函数.

当n=1时,显然有[x,y;F]=[x,y;f1]；

当n=2时,通过引理3的结果(2)得到,

[x,y;f1·f2]=f2(x)-1f1(x)-1f2(y)-1f1(x)[x,y;f1]f2(y)f2(x)[x,y;f2]

又因K是交换群,所以有[x,y;f1·f2]=[x,y;f1][x,y;f2]；

2 主要的证明

定理1(Gaschütz定理)[9,10]设H是G的交换正规子群，U是G的子群且满足H≤U，(|H|，|G/U|)=1.

(1)若H在U中有补群，则H在G中存在补群；

(2)若K1,K2是H在G中的两个补群，且满足K1∩U=K2∩U，则H在G中的任意两个补群共轭.

因为H在U中有补群，所以(|H|,|U/H|)=1；又已知(|H|,|G/U|)=1，故可得到(|H|,|G/H|)=1，即(m,n)=1.这样一定存在整数k,t使得km-tn=1，所以有

akm=a1+tn=aatn=a

即断言2的结论(2)成立.

(1)

(2)

(3)

将(3)式代入(1)式得到

下证共轭性.因为H是G的交换正规子群，U是G的子群且满足H≤U，所以H是U的交换正规子群；又已知K1，K2是H在G中的两个补群，且满足K1∩U=K2∩U，则根据Dedekind恒等式得到K1∩U=K2∩U是H在U中的补，所以要证明任意两个补群共轭.只要证明任意两个反同态映射的像集共轭即可.

于是

即得