概括测量平差模型及其解算*

谢 波，肖东升，徐俊国，贾晨琛

(1．合肥职业技术学院，安徽 合肥 23800；2．西南石油大学土木工程与建筑学院，四川 成都 610050)

引言

在测量问题中，描述未知量和观测量以及已知量之间的函数关系表达式就是测量平差模型.按照建模方法的不同，经典的测量平差模型可以分为条件平差、间接平差、附有限制条件的条件平差、附有限制条件的间接平差等；按照已知起算数据的个数的不同，又可以分为自由网平差、经典自由网平差和附合网平差.大地测量工作者一直致力于找出各种测量平差模型的统一或概括形式，进而揭示各种不同的平差模型之间的内在联系和简化计算.

目前，测量平差模型的概括形式主要为附有限制条件的条件平差模型[1,2]和附有限制条件的间接平差模型[3～7]，但是，上述两种概括形式中的条件方程或参数方程都包含有已知数据，限制条件也是由已知数据建立的，因此，两种组合模型并没有区分观测数据和已知数据两类不同性质的数据.事实上，在测量平差问题中，观测数据决定了控制网的形状或者网点的相对位置，已知数据决定了测量控制网的绝对位置或基准[8,9].所以，建立一个能够有效的区分测量控制网中的两类不同性质数据的概括测量平差模型，可以更好的理解测量控制网的内部噪声[10,11]和参考系效应[12].

文献[13,14]区分了控制网中的观测数据和已知数据，以观测数据建立误差方程，以已知数据建立基准方程，二者组合成测量平差概括模型.但是，文献[13]仅考虑了已知数据的个数为必要起算数据的个数，建立的基准方程的个数等于参数方程系数的秩亏数，所以整个平差问题仅仅局限为独立网或经典自由网，并没有考虑已知数据的个数多于必要起算数据的个数，即平差问题为附合网的情形.文献[14]在解算附合网平差模型时，将限制条件分解为由充分必要起算数据构成的基准方程，以及由其它多余起算数据构成的非基准约束方程，事实上，基准方程和非基准约束方程都是利用已知数据建立的，都是基准方程，是不可区分开来的[15,16].

本文概括测量平差模型为误差方程和基准方程的组合模型，其中误差方程由观测数据建立，基准方程由已知数据建立，并通过矩阵变换，解决了误差方程的系数阵是秩亏而无法直接求解分块矩阵的逆矩阵的问题，进而推导出概括测量模型的通解.数据验证了本模型和算法的正确性.

1 概括测量平差模型及其解算

对任意测量控制网，将网中所有的点均视为未知，按照观测数据建立误差方程、已知数据建立基准方程的方法，建立测量平差的组合模型为：

(1)

(2)

式(1)中，由于将所有点视为未知参数，因此误差方程的系数矩阵是秩亏的，设系数矩阵的秩R(B)=td时，则方程式(1)和(2)组成附合网.因此，秩亏的自由网和基准方程构成了概括测量平差模型.

由误差方程(1)可得相应的法方程：

(3)

式中，N=BTPB，W=BTPl，R(N)=t

考虑基准方程(2)，按最小二乘原理，由

VTPV+2KT(Cx-Wx)=min

(4)

得到基础方程

N·x-BTPl+CTK=0

(5)

C·x-Wx=0

(6)

用矩阵形式表示为

(7)

则

(8)

式中由于N为秩亏矩阵，所以无法直接求得上式中分块矩阵的逆.假设分块矩阵Q满足

(9)

即

(10)

则

NQ11+CTQ21=I

(11a)

NQ12+CTQ22=0

(11b)

CQ11=0

(11c)

CQ12=I

(11d)

将式(11c)左乘CT后和式(11a)相加，可得

(N+CTC)Q11+CTQ21=I

(11e)

同理，将式(11d)左乘CT再和式(11b)相加，可得

(N+CTC)Q12+CT(Q22-I)=0

(11f)

联立上述方程式(11c)～(11f)，可得

(12)

设

N′bb=N+CTC

(13a)

(13b)

由于矩阵N+CTC的逆存在，所以分块矩阵

(13c)

根据(12)式，可得分块矩阵

(13d)

(13e)

将(13d)、(13e)带入式(10)，可得

(14)

上式和常用的附有限制条件的间接平差模型的解的形式是完全一样的，差别在于法方程的系数矩阵不同.

将参数x带入误差方程可得V，单位权方差为

(15)

参数的协因数矩阵

(16)

2 算例

如图1，高程控制网中A、B的高程已知，P1、P2、P3点的高程待求，已知数据与观测数据列于表1.

图1 水准网

路线编号观测高差/m路线距离/km已知高程/m11.3591.1HA=5.01622.0091.7HB=6.01630.3632.341.0122.750.6572.460.2381.47-0.5952.5

方法一：间接平差模型计算

Q=P-1=diag[1.1 1.7 2.3 2.7 2.4 1.4 2.6]

将所有观测值表示成未知参数的误差方程：

依据最小二乘原理，计算得到

方法二：概括平差模型计算

实际上，A、B为已知点，可以组成基准方程：

写成矩阵形式，则

根据文中公式(13)、(14)计算

= [5.016 0 6.016 0 6.374 8 7.027 9 6.612 1]

可见，本文方法的计算结果和按照一般的间接平差模型是一致的，证明了本文提出的建模方法和解算方法是正确的.

3 结论

本文通过以观测数据建立误差方程，以已知数据建立基准方程，从而建立了测量平差概括模型，有效区分了控制网中的观测数据和起算数据两类不同性质的数据.根据基准方程的个数，概括测量平差模型涵盖了自由网、经典自由网和附合网等网型，因而更具有一般性.通过矩阵变换，解决了概括测量平差模型中误差方程式的系数阵是秩亏而无法直接求解分块矩阵的逆矩阵的问题，推导出概括测量平差模型的通解.水准网的数值实验表明建模方法和算法是正确的，该方法在大地测量数据处理中具有一定的实用价值.